Rasyonel ve Ondalık Sayılar
(Kesir İşlemleri, Devirli Ondalık, Teleskopik Toplamlar, Karşılaştırma Teknikleri — İleri Seviye)
1. Konunun Mantığı
Rasyonel sayılar konusu tek başına az soru getirse de, TÜM sayısal bölümün alt yapısıdır. İleri seviyede asıl önemli olan üç şey: devirli ondalık↔kesir dönüşümünü ispatıyla bilmek, teleskopik (birbirini götüren) toplam tekniğini tanımak ve büyük kesir gruplarını hızlı karşılaştırmaktır.
2. Sıfırdan Tam Konu Anlatımı
Devirli ondalık ↔ kesir: Saf devirli $0,\overline{ab}=\dfrac{ab}{99}$; karma devirli $0,a\overline{b}=\dfrac{\overline{ab}-a}{90}$ (devir basamağı kadar 9, devirsiz basamağı kadar 0).
Teleskopik toplam: $\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac1n-\dfrac1{n+1}$ özdeşliği ile $\sum_{k=1}^{N}\dfrac1{k(k+1)}=1-\dfrac1{N+1}$ gibi seriler saniyeler içinde toplanır.
1'e uzaklık yöntemi: $1-\dfrac{a}{b}=\dfrac{b-a}{b}$ küçükse kesir 1'e o kadar yakındır (büyüktür).
Sürekli (zincirleme) kesirler: $\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac1x}}$ tipi ifadeler içten dışa doğru sadeleştirilir.
3. İleri Düzey Ayrıntılar
- $0,999\ldots=1$ kesin bir eşitliktir (limit değil, cebirsel ispat: $x=0,999...\Rightarrow10x=9,999...\Rightarrow9x=9\Rightarrow x=1$).
- $\dfrac{1}{n}-\dfrac1{n+1}=\dfrac1{n(n+1)}$ türü ayrıştırmalar hem toplama hem karşılaştırmada kullanılır.
- Ardışık tam sayıların çarpanlarına ayrılmış kesirlerinde ($\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac1{2\cdot3}+...$) teleskopik sadeleşme aranmalı.
4. Ezber Teknikleri
Teleskopik seri gördüğünde hemen $\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$ dönüşümünü dene; toplamın çoğu terimi birbirini götürür, sadece BAŞ ve SON terim kalır.
5. Karşılaştırma Tabloları
| Ondalık Türü | Formül |
|---|---|
| Saf devirli | $0,\overline{ab}=\frac{ab}{99}$ |
| Karma devirli | $0,a\overline{b}=\frac{\overline{ab}-a}{90}$ |
6. Sınıflandırma Şeması
Kesir toplamı/karşılaştırması gördüğünde: 1) Terimler $\frac1{n(n+1)}$ formunda mı → teleskopik ayrıştır → 2) Sayılar 1'e yakın mı → 1'e uzaklık yöntemi → 3) Devirli ondalık mı → saf/karma ayrımı yapıp formülü uygula.
7. En Çok Karıştırılan Noktalar
Karma devirli formülünde devirsiz basamak sayısı kadar SIFIR eklemeyi unutmak en sık hatadır: $0,41\overline{6}=\frac{416-41}{900}=\frac{375}{900}=\frac5{12}$ (iki devirsiz rakam → iki sıfır, bir devirli rakam → bir dokuz).
8. ÖSYM Analizi
KPSS'de bu konudan gelen sorular genelde devirli ondalık dönüşümü VEYA çok terimli kesir toplamı/karşılaştırması şeklindedir; saf işlem sorusu nadirdir.
9. Soru Çözüm Stratejileri
Uzun bir kesir toplamı gördüğünde önce genel terimi bul, teleskopik ayrıştırma dene; elle toplamaya çalışmak zaman kaybettirir.
10. Çözümlü Örnek Sorular (30 Soru — Yükseltilmiş Zorluk)
🟢 Orta-Kolay (1-10)
$0,\overline{45}$ kesir biçiminde sadeleştirilmiş hâliyle nedir?
A) $\frac{5}{11}$ B) $\frac{45}{99}$ C) $\frac9{20}$ D) $\frac{4}{9}$ E) $\frac{1}{2}$
Çözüm: $\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$. Doğru cevap: A.
$\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4}$ toplamı kaçtır?
A) $\frac34$ B) $\frac23$ C) $\frac{11}{12}$ D) $\frac{5}{6}$ E) $\frac14$
Çözüm: Teleskopik: $1-\frac14=\frac34$. Doğru cevap: A.
$0,41\overline{6}$ ondalık sayısının kesir biçimi nedir?
A) $\frac{5}{12}$ B) $\frac{25}{60}$ C) $\frac{7}{16}$ D) $\frac{5}{6}$ E) $\frac{41}{99}$
Çözüm: $\frac{416-41}{900}=\frac{375}{900}=\frac5{12}$. Doğru cevap: A.
$a=\frac78,b=\frac9{10},c=\frac{15}{16}$ sayılarının büyükten küçüğe sıralaması nedir?
A) $c>b>a$ B) $a>b>c$ C) $b>c>a$ D) $c>a>b$ E) $a>c>b$
Çözüm: 1'e uzaklıklar: $\frac18,\frac1{10},\frac1{16}$; en küçük uzaklık en büyük sayı: $c>b>a$. Doğru cevap: A.
$\dfrac{2}{3}\div\dfrac{4}{9}$ işleminin sonucu kaçtır?
A) $\frac89$ B) $\frac32$ C) $\frac{3}{2}$ D) $\frac{6}{4}$ E) Hem B hem C
Çözüm: $\frac23\times\frac94=\frac{18}{12}=\frac32$. Doğru cevap: E.
$0,999\ldots$ ifadesi için hangisi doğrudur?
A) 1'e çok yakın ama 1'den küçüktür B) Tam olarak 1'e eşittir C) Tanımsızdır D) 0,9'dur E) İrrasyoneldir
Çözüm: Cebirsel ispatla $0,999\ldots=1$. Doğru cevap: B.
$\dfrac1{2\cdot4}+\dfrac1{4\cdot6}+\dfrac1{6\cdot8}$ toplamı için hangi teknik en uygundur?
A) Ortak paydaya alıp direkt toplama B) $\frac12(\frac1n-\frac1{n+2})$ tipi teleskopik ayrıştırma C) Ondalığa çevirme D) 1'e uzaklık yöntemi E) Rastgele deneme
Çözüm: Payda farkı 2 olduğundan $\frac1{n(n+2)}=\frac12(\frac1n-\frac1{n+2})$ teleskopik ayrıştırması en hızlıdır. Doğru cevap: B.
Soru 7'deki toplamın sayısal değeri kaçtır?
A) $\frac{3}{16}$ B) $\frac{1}{4}$ C) $\frac{5}{16}$ D) $\frac{1}{2}$ E) $\frac{3}{8}$
Çözüm: $\frac12(\frac12-\frac18)=\frac12\cdot\frac38=\frac3{16}$. Doğru cevap: A.
$0,\overline{3}+0,\overline{6}$ toplamı kaçtır?
A) $0,\overline{9}=1$ B) $0,9$ C) $1,1$ D) $0,\overline{99}$ E) Tanımsız
Çözüm: $\frac13+\frac23=1$. Doğru cevap: A.
$\dfrac{1}{3}$ ile $\dfrac{4}{13}$ kesirlerinden hangisi büyüktür (çapraz çarpma ile)?
A) $\frac13$ B) $\frac4{13}$ C) Eşit D) Karşılaştırılamaz E) Hiçbiri
Çözüm: $1\times13=13$, $4\times3=12$; $13>12$ olduğundan $\frac13>\frac4{13}$. Doğru cevap: A.
🟡 Orta-Zor (11-20)
$\displaystyle\sum_{k=1}^{99}\dfrac{1}{k(k+1)}$ toplamı kaçtır?
A) $\frac{99}{100}$ B) $\frac{1}{100}$ C) $1$ D) $\frac{98}{99}$ E) $\frac{100}{99}$
Çözüm: Teleskopik: $1-\frac1{100}=\frac{99}{100}$. Doğru cevap: A.
$x=\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac12}}$ ifadesinin değeri kaçtır?
A) $\frac{5}{12}$ B) $\frac{2}{5}$ C) $\frac{5}{2}$ D) $\frac{12}{5}$ E) $\frac{7}{12}$
Çözüm: İçten dışa: $2+\frac12=\frac52$; $2+\frac25=\frac{12}5$; $x=\frac{5}{12}$. Doğru cevap: A.
$0,1\overline{23}$ (devirsiz kısım "1", devirli kısım "23") kesir biçimi nedir?
A) $\frac{61}{495}$ B) $\frac{122}{990}$ C) $\frac{122}{999}$ D) A ve B eşdeğerdir E) $\frac{23}{99}$
Çözüm: Pay: $123-1=122$; payda: 2 devirli basamak (99) × 1 devirsiz basamak (0) = 990. $\frac{122}{990}=\frac{61}{495}$; A ve B sadeleştirmeyle eşdeğerdir. Doğru cevap: D.
$\dfrac{1}{\sqrt2+1}$ ifadesinin payda rasyonelleştirilmiş hâli nedir?
A) $\sqrt2-1$ B) $\sqrt2+1$ C) $\frac{\sqrt2}{2}-1$ D) $2-\sqrt2$ E) $1-\sqrt2$
Çözüm: $\frac{1}{\sqrt2+1}\times\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}=\frac{\sqrt2-1}{2-1}=\sqrt2-1$. Doğru cevap: A.
$m,n,p,q$ sayılar $\frac mn<\frac pq$ ($n,q>0$) koşulunu sağlıyorsa "medyant" kesri $\frac{m+p}{n+q}$ için ne söylenebilir?
A) Her zaman $\frac mn$ ile $\frac pq$ arasındadır B) Her zaman $\frac mn$'den küçüktür C) Her zaman $\frac pq$'dan büyüktür D) Belirsizdir E) Her zaman eşittir
Çözüm: Medyant kesir özelliği gereği her zaman iki kesir arasında yer alır (Stern-Brocot ağacının temel özelliği). Doğru cevap: A.
$\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac1{3\cdot5}+\dfrac1{5\cdot7}+\cdots+\dfrac1{97\cdot99}$ toplamı kaçtır?
A) $\frac{49}{99}$ B) $\frac{48}{99}$ C) $\frac{1}{2}$ D) $\frac{49}{100}$ E) $\frac{1}{99}$
Çözüm: $\frac1{n(n+2)}=\frac12(\frac1n-\frac1{n+2})$; toplam $=\frac12(1-\frac1{99})=\frac12\cdot\frac{98}{99}=\frac{49}{99}$. Doğru cevap: A.
$0,\overline{142857}$ (6 basamak devirli) hangi kesre eşittir?
A) $\frac17$ B) $\frac{142857}{999999}$ C) A ve B eşdeğer D) $\frac16$ E) $\frac{1}{8}$
Çözüm: $\frac{142857}{999999}=\frac17$ (bilinen özdeşlik); A ve B eşdeğerdir. Doğru cevap: C.
$\dfrac{2024}{2025}$ ile $\dfrac{2025}{2026}$ kesirlerinden hangisi büyüktür?
A) $\frac{2024}{2025}$ B) $\frac{2025}{2026}$ C) Eşit D) Karşılaştırılamaz E) Farkları sıfırdır
Çözüm: 1'e uzaklıklar $\frac1{2025}$ ve $\frac1{2026}$; $\frac1{2026}<\frac1{2025}$ olduğundan ikinci kesir 1'e daha yakın, yani daha büyük. Doğru cevap: B.
$x+\dfrac1x=3$ ise $x^2+\dfrac1{x^2}$ kaçtır?
A) 7 B) 9 C) 5 D) 11 E) 3
Çözüm: $(x+\frac1x)^2=x^2+2+\frac1{x^2}=9\Rightarrow x^2+\frac1{x^2}=7$. Doğru cevap: A.
$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac18+\cdots+\dfrac1{2^{10}}$ (10 terim, geometrik seri) toplamı kaçtır?
A) $1-\frac1{2^{10}}$ B) $1$ C) $\frac{1023}{1024}$ D) A ve C eşdeğer E) $2-\frac1{2^{10}}$
Çözüm: Geometrik seri toplam formülü: $1-\frac1{2^{10}}=1-\frac1{1024}=\frac{1023}{1024}$; A ve C eşdeğerdir. Doğru cevap: D.
🔴 Zor (21-30)
$\dfrac{1}{1\cdot2\cdot3}+\dfrac1{2\cdot3\cdot4}+\cdots+\dfrac1{n(n+1)(n+2)}$ toplamı için hangi ayrıştırma kullanılır?
A) $\frac1{n(n+1)(n+2)}=\frac12\left[\frac1{n(n+1)}-\frac1{(n+1)(n+2)}\right]$ B) Doğrudan toplama C) Rasyonelleştirme D) 1'e uzaklık E) Hiçbiri
Çözüm: Üç terimli teleskopik ayrıştırma bu formdadır; ikinci mertebeden teleskop oluşturur. Doğru cevap: A.
Soru 21'deki toplam $n=1$'den $n=8$'e kadar (8 terim) hesaplanırsa sonuç kaçtır?
A) $\frac{11}{45}$ B) $\frac{1}{4}$ C) $\frac{1}{90}$ D) $\frac{22}{45}$ E) $\frac{9}{40}$
Çözüm: Formül: $\frac14-\frac1{2(n+1)(n+2)}$; $n=8$ için $\frac14-\frac1{2\cdot9\cdot10}=\frac14-\frac1{180}=\frac{45}{180}-\frac1{180}=\frac{44}{180}=\frac{11}{45}$. Doğru cevap: A.
$a,b$ pozitif tam sayılar ve $\dfrac ab=0,\overline{27}$ ise $a+b$'nin alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 14 B) 38 C) 11 D) 26 E) 37
Çözüm: $0,\overline{27}=\frac{27}{99}=\frac3{11}$ (sadeleştirilmiş); $a=3,b=11$, en küçük toplam $=14$. Doğru cevap: A.
$\dfrac{1}{n}-\dfrac1{n+1}<\dfrac1{100}$ eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı $n$ kaçtır (yaklaşık, $\frac1{n(n+1)}<\frac1{100}$)?
A) 9 B) 10 C) 11 D) 8 E) 12
Çözüm: $n(n+1)>100$ olmalı; $n=9$ için $9\times10=90<100$ olmaz, $n=10$ için $10\times11=110>100$ ✓; en küçük $n=10$. Doğru cevap: B.
$\dfrac{3}{4},\dfrac{5}{7},\dfrac{8}{11}$ kesirlerinden hangisi ortadadır (medyan)?
A) $\frac34$ B) $\frac57$ C) $\frac8{11}$ D) Belirsiz E) Hepsi eşit
Çözüm: Ondalığa çevir: $0,75;\ 0,714;\ 0,727$; sıralama $0,714<0,727<0,75$, ortanca $\frac8{11}$. Doğru cevap: C.
$x=0,1\overline{6}$ ise $6x$ kaçtır?
A) 1 B) $\frac{5}{6}$ C) $\frac{6}{5}$ D) 2 E) $\frac{1}{6}$
Çözüm: $0,1\overline6=\frac{16-1}{90}=\frac{15}{90}=\frac16$; $6x=1$. Doğru cevap: A.
$\dfrac{1}{\sqrt2}+\dfrac1{\sqrt2+\sqrt3}+\cdots$ gibi rasyonelleştirme zincirlerinde genel yaklaşım nedir?
A) Her terimi payda eşleniğiyle çarpıp teleskopik hâle getirmek B) Direkt ondalığa çevirmek C) Yaklaşık değer kullanmak D) İhmal etmek E) Hiçbiri
Çözüm: $\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt n$ eşleniğiyle rasyonelleştirilip teleskopik toplama dönüştürülür. Doğru cevap: A.
$\dfrac{1}{\sqrt1+\sqrt2}+\dfrac1{\sqrt2+\sqrt3}+\cdots+\dfrac1{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$ toplamı kaçtır?
A) 9 B) 10 C) $\sqrt{100}-\sqrt1=9$ D) A ve C eşdeğer E) 99
Çözüm: Her terim $\sqrt{n+1}-\sqrt n$'e rasyonelleşir; teleskopik toplam $=\sqrt{100}-\sqrt1=10-1=9$. Doğru cevap: D.
Bir kesrin payı ve paydası, kesir sadeleştirilemez (aralarında asal) olacak şekilde $\frac{a}{b}=0,\overline{037}$ ise $a+b$ kaçtır?
A) 28 B) 37 C) 30 D) 999 E) 26
Çözüm: $\frac{37}{999}$; EBOB(37,999): 999=27×37, yani $\frac{37}{999}=\frac{1}{27}$; $a+b=1+27=28$. Doğru cevap: A.
$\dfrac{1}{2^2-1}+\dfrac1{3^2-1}+\cdots+\dfrac1{10^2-1}$ toplamı için hangi ayrıştırma faydalıdır ($n^2-1=(n-1)(n+1)$)?
A) $\frac1{(n-1)(n+1)}=\frac12\left(\frac1{n-1}-\frac1{n+1}\right)$ B) Doğrudan toplama C) Rasyonelleştirme D) 1'e uzaklık E) Hiçbiri
Çözüm: $n^2-1=(n-1)(n+1)$ çarpanlarına ayrılıp kısmi kesirlere bölünerek teleskopik toplam elde edilir. Doğru cevap: A.
11. Mini Deneme (20 Soru — Yüksek Zorluk)
- $0,\overline{18}$ kesir biçimi nedir?
A) $\frac{2}{11}$ B) $\frac{9}{50}$ C) $\frac{18}{99}$ D) A ve C eşdeğer E) $\frac{1}{5}$ - $\dfrac1{1\cdot2}+\dfrac1{2\cdot3}+\cdots+\dfrac1{9\cdot10}$ toplamı kaçtır?
A) $\frac{9}{10}$ B) $\frac{1}{10}$ C) $\frac{8}{9}$ D) 1 E) $\frac{1}{2}$ - $x+\frac1x=5$ ise $x^2+\frac1{x^2}$ kaçtır?
A) 21 B) 23 C) 25 D) 27 E) 19 - $\frac{100}{101}$ ile $\frac{101}{102}$'den hangisi büyüktür?
A) İlki B) İkincisi C) Eşit D) Karşılaştırılamaz E) Fark sıfır - $0,2\overline5$ (devirsiz "2", devirli "5") kesir biçimi nedir?
A) $\frac{23}{90}$ B) $\frac{25}{90}$ C) $\frac{5}{18}$ D) A ve C eşdeğer E) $\frac{2}{5}$ - $\dfrac1{\sqrt3+\sqrt2}$ ifadesi rasyonelleştirilince ne olur?
A) $\sqrt3-\sqrt2$ B) $\sqrt3+\sqrt2$ C) $\sqrt6-1$ D) $\frac{\sqrt3}{\sqrt2}$ E) 1 - $\dfrac1{1\cdot3}+\dfrac1{3\cdot5}+\dfrac1{5\cdot7}$ toplamı kaçtır?
A) $\frac{3}{7}$ B) $\frac{1}{3}$ C) $\frac{4}{7}$ D) $\frac{2}{7}$ E) $\frac{5}{7}$ - $0,999\ldots\times3$ kaçtır?
A) 2,997 B) 3 C) $2,\overline{9}$ D) B ve C eşdeğer E) Tanımsız - $\dfrac{7}{9}$ ile $\dfrac{8}{11}$'den hangisi büyüktür?
A) $\frac79$ B) $\frac8{11}$ C) Eşit D) Karşılaştırılamaz E) İkisi de 1'e eşit - $\cfrac1{1+\cfrac11}$ ifadesinin değeri kaçtır?
A) $\frac12$ B) 1 C) 2 D) $\frac13$ E) 0 - $\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac1{3\cdot4}+\cdots+\dfrac1{9\cdot10}$ toplamı kaçtır?
A) $\frac{7}{30}$ B) $\frac{4}{10}$ C) $\frac{1}{2}$ D) $\frac{7}{20}$ E) $\frac{3}{10}$ - $a/b$ sadeleştirilmiş kesri $0,\overline{6}$'ya eşitse $a+b$ kaçtır?
A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 15 - $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$ özdeşliği hangi amaçla kullanılır?
A) Rasyonelleştirme/teleskopik toplam B) Basit sadeleştirme C) Ondalığa çevirme D) Hiçbiri E) Sadece karekök alma - $\dfrac{2}{3}$ kesrinin 1'e uzaklığı kaçtır?
A) $\frac13$ B) $\frac23$ C) 1 D) $\frac{1}{2}$ E) 0 - $0,\overline{123}$ kesri sadeleştirilince paydası kaçtır (999 ile EBOB alınarak)?
A) 999 B) 333 C) 111 D) 37 E) 27 - $\dfrac1{n(n+1)}$ genel teriminin teleskopik ayrıştırması nedir?
A) $\frac1n+\frac1{n+1}$ B) $\frac1n-\frac1{n+1}$ C) $\frac{1}{n^2}$ D) $\frac2{n}$ E) $\frac1{n^2+n}$ (bu da doğru ama ayrıştırma değil) - $x=0,3\overline{45}$ ifadesinde devirsiz basamak sayısı kaçtır?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 - $\dfrac{99}{100}$ ile $\dfrac{999}{1000}$'den hangisi 1'e daha yakındır?
A) $\frac{99}{100}$ B) $\frac{999}{1000}$ C) Eşit uzaklık D) Karşılaştırılamaz E) İkisi de 1'e eşit - $\dfrac{1}{4}+\dfrac1{16}+\dfrac1{64}+\cdots$ (sonsuz geometrik seri, oran $\frac14$) toplamı kaçtır?
A) $\frac13$ B) $\frac14$ C) $\frac12$ D) 1 E) $\frac{4}{3}$ - $\dfrac{5}{6}$ kesri hangi işlemle $0,8\overline3$'e dönüştürülür (uzun bölme mantığı)?
A) $5\div6$ B) $6\div5$ C) $5\times6$ D) $5-6$ E) Hiçbiri
12. Cevap Anahtarı
1. D — $\frac{18}{99}=\frac2{11}$.
2. A — Teleskopik: $1-\frac1{10}=\frac9{10}$.
3. A — $25-2=23$.
4. B — Uzaklıklar $\frac1{101}>\frac1{102}$; ikinci kesir 1'e daha yakın, daha büyük.
5. A — $\frac{25-2}{90}=\frac{23}{90}$ (sadeleşmez).
6. A — $(\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2)=1$, pay-payda $\sqrt3-\sqrt2$ ile çarpılır.
7. A — $\frac12(1-\frac17)=\frac12\cdot\frac67=\frac37$.
8. D — $0,999...=1$, $1\times3=3=2,\overline9$.
9. A — Çapraz çarpım: $7\times11=77$, $8\times9=72$; $77>72$, $\frac79>\frac8{11}$.
10. A — İçteki $\frac11=1$; $\cfrac1{1+1}=\frac12$.
11. B — Teleskopik: $\frac12-\frac1{10}=\frac{4}{10}$.
12. A — $\frac69=\frac23$, sadeleştirilmiş $a=2,b=3$, $a+b=5$.
13. A — Bu özdeşlik rasyonelleştirme yoluyla teleskopik toplam kurmak için kullanılır.
14. A — $1-\frac23=\frac13$.
15. A — $999=27\times37$; $0,\overline{123}=\frac{123}{999}=\frac{41}{333}$; payda 333.
16. B — $\frac1n-\frac1{n+1}=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac1{n(n+1)}$.
17. B — "45" devirli, "3" devirsiz; devirsiz basamak sayısı 1.
18. B — Uzaklıklar $\frac1{100}>\frac1{1000}$; ikinci kesir daha yakın.
19. A — Sonsuz geometrik seri: $\frac{a}{1-r}=\frac{1/4}{1-1/4}=\frac{1/4}{3/4}=\frac13$.
20. A — Kesri ondalığa çevirmek için pay paydaya bölünür.
13. Ultra Özet
RASYONEL VE ONDALIK SAYILAR — TEK SAYFA
1. Saf devirli: $\frac{ab}{99...9}$; karma devirli: $\frac{\text{tümü}-\text{devirsiz}}{9...90...0}$.
2. Teleskopik toplam: $\frac1{n(n+k)}=\frac1k(\frac1n-\frac1{n+k})$; kareköklü hâli $\frac1{\sqrt n+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt n$.
3. 1'e uzaklık: küçük uzaklık = büyük kesir. Çapraz çarpma: $\frac ab$ vs $\frac cd$ → $ad$ vs $bc$.
4. $0,999...=1$ kesin eşitliktir.
5. Zincirleme kesirlerde içten dışa çöz.
14. Son Gün Tekrarı
• Uzun kesir toplamı gördüğünde önce teleskopik ayrıştırma dene.
• Karekök payda görünce eşlenikle rasyonelleştir, teleskopa dönüştür.
• Devirli ondalıkta devirsiz basamak sayısı kadar sıfır, devirli basamak sayısı kadar 9 unutma.
• Sonsuz geometrik seri: $\frac{\text{ilk terim}}{1-\text{oran}}$.