Denklemler (I. ve II. Derece)
(Birinci Derece Denklem ve Sistemler, İkinci Derece Denklem, Vieta Formülleri, Diskriminant — İleri Seviye)
1. Konunun Mantığı
Denklemler konusu, KPSS sayısal bölümünün merkezindeki tekniktir. İleri seviyede asıl beceri, ikinci derece denklemi HER ZAMAN çözmeden, Vieta formülleri (kök toplamı-çarpımı) ile istenen ifadeyi DOĞRUDAN hesaplayabilmektir; bu, zamandan büyük tasarruf sağlar.
2. Sıfırdan Tam Konu Anlatımı
Vieta formülleri: $ax^2+bx+c=0$ denkleminin kökleri $x_1,x_2$ ise $x_1+x_2=-\dfrac ba$, $x_1x_2=\dfrac ca$.
Diskriminant ($\Delta=b^2-4ac$): $\Delta>0\Rightarrow$ 2 farklı gerçek kök; $\Delta=0\Rightarrow$ 1 (çift) gerçek kök; $\Delta<0\Rightarrow$ gerçek kök yok.
Kök formülü: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
3. İleri Düzey Ayrıntılar
- $f(0)=c/a$ değerinin işareti, köklerin çarpımının işaretini verir: $c/a<0\Rightarrow$ kökler zıt işaretli.
- Köklerden biri BİLİNEN bir denklemde ($x=1$ gibi), o değeri denklemde yerine koyarak parametreyi bul; diğer kökü Vieta ile bul.
- $x^4+px^2+q=0$ (biquadratic) türü denklemler $t=x^2$ dönüşümüyle ikinci dereceye indirgenir; HER pozitif $t$ değeri İKİ $x$ değeri verir.
- Yeni kökleri eskiye bağlı (tersleri, kareleri) bir denklem kurma sorularında, YENİ toplam ve çarpımı Vieta ile ifade edip yeni denklemi yaz.
4. Ezber Teknikleri
Vieta: "toplam $=-b/a$, çarpım $=c/a$" — işaret hatasını önlemek için $b$'nin önündeki EKSİ işaretini unutma.
5. Karşılaştırma Tabloları
| $\Delta$ | Kök Durumu |
|---|---|
| $\Delta>0$ | 2 farklı gerçek kök |
| $\Delta=0$ | 1 çift (katlı) kök |
| $\Delta<0$ | Gerçek kök yok |
6. Sınıflandırma Şeması
İkinci derece ifade gördüğünde: 1) Kökler mi isteniyor → çarpanlara ayır ya da formül kullan → 2) Köklerle ilgili SİMETRİK bir ifade mi isteniyor (toplam, çarpım, kareler toplamı) → Vieta ile doğrudan hesapla, kökleri bulma → 3) Parametre mi var → verilen kökü yerine koy, diğerini Vieta'dan bul → 4) Kök sayısı mı soruluyor → diskriminantı incele.
7. En Çok Karıştırılan Noktalar
Vieta formülünde toplam $-b/a$'dır, $b/a$ DEĞİL; işaret unutulursa tüm sonuç ters çıkar.
8. ÖSYM Analizi
KPSS'de ikinci derece denklemler genelde Vieta formülleriyle "kökleri bulmadan" çözülmesi beklenen sorular olarak gelir; saf kök bulma sorusu daha nadirdir.
9. Soru Çözüm Stratejileri
"Köklerin toplamı/çarpımı/kareleri toplamı" gibi bir ifade istendiğinde ASLA kökleri tek tek bulmaya çalışma; doğrudan Vieta formüllerini kullan.
10. Çözümlü Örnek Sorular (30 Soru — Yükseltilmiş Zorluk)
🟢 Orta-Kolay (1-10)
$3x+5=20$ denklemini sağlayan $x$ kaçtır?
A) 5 B) 4 C) 6 D) 3 E) 7
Çözüm: $3x=15\Rightarrow x=5$. Doğru cevap: A.
$2(x-3)=10$ denklemini sağlayan $x$ kaçtır?
A) 8 B) 6 C) 10 D) 5 E) 7
Çözüm: $x-3=5\Rightarrow x=8$. Doğru cevap: A.
$x^2-5x+6=0$ denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?
A) 5 B) 6 C) -5 D) 1 E) -6
Çözüm: Vieta: toplam $=-b/a=5$. Doğru cevap: A.
$x^2-5x+6=0$ denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?
A) 6 B) 5 C) -6 D) 1 E) -5
Çözüm: Vieta: çarpım $=c/a=6$. Doğru cevap: A.
$x^2-9=0$ denkleminin çözüm kümesi nedir?
A) $\{3,-3\}$ B) $\{9\}$ C) $\{3\}$ D) $\{-3\}$ E) Çözüm yok
Çözüm: $x^2=9\Rightarrow x=\pm3$. Doğru cevap: A.
$x^2-4x+4=0$ denkleminin kaç farklı gerçek kökü vardır?
A) 1 B) 0 C) 2 D) 3 E) Belirsiz
Çözüm: $\Delta=16-16=0$; 1 çift kök. Doğru cevap: A.
$x^2+2x+5=0$ denkleminin kaç gerçek kökü vardır?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) Belirsiz
Çözüm: $\Delta=4-20=-16<0$; gerçek kök yoktur. Doğru cevap: A.
$x+y=10$, $x-y=4$ ise $x$ kaçtır?
A) 7 B) 6 C) 8 D) 5 E) 9
Çözüm: Topla: $2x=14\Rightarrow x=7$. Doğru cevap: A.
$2x+3y=12$ ve $x=3$ ise $y$ kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 1 E) 5
Çözüm: $6+3y=12\Rightarrow y=2$. Doğru cevap: A.
$x^2=49$ denkleminin çözüm kümesi nedir?
A) $\{7,-7\}$ B) $\{49\}$ C) $\{7\}$ D) $\{-7\}$ E) Çözüm yok
Çözüm: $x=\pm7$. Doğru cevap: A.
🟡 Orta-Zor (11-20)
$x^2-7x+12=0$ denkleminin köklerinin kareleri toplamı ($x_1^2+x_2^2$) kaçtır?
A) 25 B) 37 C) 12 D) 7 E) 19
Çözüm: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=49-24=25$. Doğru cevap: A.
$2x^2-5x-3=0$ denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?
A) $-\frac32$ B) $\frac32$ C) $-3$ D) $\frac52$ E) $-\frac52$
Çözüm: Çarpım $=c/a=-3/2$. Doğru cevap: A.
$x^2-(k+1)x+k=0$ denklemi için $x=1$ her zaman bir köktür. Diğer kök $k$ cinsinden nedir?
A) $k$ B) $k+1$ C) $-k$ D) $1-k$ E) $k-1$
Çözüm: $1-(k+1)+k=0$ her zaman doğru; çarpım $=k$, bir kök $1$ olduğundan diğeri $k/1=k$. Doğru cevap: A.
$x^2-6x+m=0$ denkleminin köklerinden biri $2$'dir. $m$ ve diğer kök nedir?
A) $m=8$, diğer kök $4$ B) $m=4$, diğer kök $8$ C) $m=8$, diğer kök $3$ D) $m=6$, diğer kök $4$ E) $m=8$, diğer kök $6$
Çözüm: $4-12+m=0\Rightarrow m=8$; toplam $=6\Rightarrow$ diğer kök $=4$. Doğru cevap: A.
$x^2-4x-5=0$ denkleminin büyük kökünden küçük kökü çıkarırsak ne bulunur?
A) 6 B) 4 C) 5 D) 9 E) -6
Çözüm: $(x-5)(x+1)=0\Rightarrow x=5,-1$; fark $=5-(-1)=6$. Doğru cevap: A.
$x^2+px+q=0$ denkleminin çift kökü olması için $q=p^2/4$ olmalıdır. $p=6$ ise $q$ kaçtır?
A) 9 B) 6 C) 12 D) 3 E) 18
Çözüm: $q=36/4=9$. Doğru cevap: A.
$x^2-3x-10=0$ denkleminin kökleri hakkında ne söylenebilir?
A) Biri pozitif biri negatiftir, pozitif kökün mutlak değeri büyüktür B) İkisi de pozitiftir C) İkisi de negatiftir D) Belirsizdir E) İkisi de sıfırdır
Çözüm: Çarpım $=-10<0$ (zıt işaret), toplam $=3>0$ (pozitif kök baskın). Doğru cevap: A.
$\dfrac x{x-2}+1=\dfrac3{x-2}$ denklemini sağlayan $x$ kaçtır?
A) 2,5 B) 2 C) 3 D) 1,5 E) Çözüm yok
Çözüm: $(x-2)$ ile çarp: $x+(x-2)=3\Rightarrow2x=5\Rightarrow x=2,5$ ($x\ne2$ koşulu sağlanır). Doğru cevap: A.
$2x-y=5$, $3x+2y=18$ sistemini sağlayan $x+y$ kaçtır?
A) 7 B) 8 C) 6 D) 9 E) 5
Çözüm: $y=2x-5$; $3x+2(2x-5)=18\Rightarrow7x=28\Rightarrow x=4,y=3$; $x+y=7$. Doğru cevap: A.
$x^2-2x-8=0$ denkleminin köklerinin farkı (büyükten küçük) kaçtır?
A) 6 B) 4 C) 8 D) 2 E) -6
Çözüm: $(x-4)(x+2)=0\Rightarrow x=4,-2$; fark $=6$. Doğru cevap: A.
🔴 Zor (21-30)
$x^2-(m+1)x+(m+4)=0$ denkleminin eşit (çift) köke sahip olması için $m$'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
A) 2 B) 5 C) -3 D) 8 E) -8
Çözüm: $\Delta=(m+1)^2-4(m+4)=m^2-2m-15=0$; bu denklemde Vieta ile $m$ değerlerinin toplamı $=2$. Doğru cevap: A.
$x^2-5x+6=0$ denkleminin kökleri $x_1,x_2$ ise $(x_1+2)(x_2+2)$ kaçtır?
A) 20 B) 16 C) 24 D) 18 E) 22
Çözüm: $x_1x_2+2(x_1+x_2)+4=6+10+4=20$. Doğru cevap: A.
$x^2+bx+c=0$ denkleminin kökleri $3$ ve $-4$ ise $b+c$ kaçtır?
A) -11 B) -13 C) -9 D) 11 E) 13
Çözüm: Toplam $=-1=-b\Rightarrow b=1$; çarpım $=-12=c$; $b+c=1-12=-11$. Doğru cevap: A.
$|x^2-5x+6|=2$ denkleminin kaç gerçek kökü vardır?
A) 2 B) 4 C) 3 D) 0 E) 1
Çözüm: $x^2-5x+6=2\Rightarrow x^2-5x+4=0\Rightarrow x=1,4$ (2 kök); $x^2-5x+6=-2\Rightarrow x^2-5x+8=0$, $\Delta=25-32<0$ (kök yok); toplam 2 gerçek kök. Doğru cevap: A.
$ax^2+bx+c=0$ ($a>0$) denkleminde $f(0)=c<0$ ise kökler hakkında ne söylenebilir?
A) Biri pozitif biri negatiftir B) İkisi de pozitiftir C) İkisi de negatiftir D) Gerçek kök yoktur E) Belirsizdir
Çözüm: Çarpım $=c/a<0$ olduğundan kökler zıt işaretlidir. Doğru cevap: A.
$x^4-5x^2+4=0$ denkleminin kaç gerçek kökü vardır?
A) 4 B) 2 C) 6 D) 8 E) 0
Çözüm: $t=x^2$: $t^2-5t+4=0\Rightarrow t=1,4$; her ikisi de pozitif, her biri 2 kök verir: $x=\pm1,\pm2$; toplam 4. Doğru cevap: A.
$xy=12$, $x+y=7$ ise $x-y$'nin alabileceği değer(ler) nedir?
A) $\pm1$ B) $\pm7$ C) $\pm12$ D) Tek değer: 1 E) Çözüm yok
Çözüm: $x,y$, $t^2-7t+12=0$'ın kökleridir: $t=3,4$; $\{x,y\}=\{3,4\}$; $x-y=\pm1$. Doğru cevap: A.
$x^2-5x+6=0$ denkleminin köklerinin TERSLERİ, yeni bir denklemin kökleridir. Bu yeni denklem (6 ile çarpılmış tam sayı katsayılı biçimde) nedir?
A) $6x^2-5x+1=0$ B) $6x^2+5x+1=0$ C) $x^2-5x+6=0$ D) $6x^2-5x-1=0$ E) $x^2-6x+5=0$
Çözüm: Eski kökler $2,3$; tersleri $\frac12,\frac13$; yeni toplam $=\frac56$, yeni çarpım $=\frac16$; denklem $x^2-\frac56x+\frac16=0$, 6 ile çarp: $6x^2-5x+1=0$. Doğru cevap: A.
$x^2-kx+16=0$ denkleminin iki eşit POZİTİF kökü olması için $k$ kaç olmalıdır?
A) 8 B) -8 C) $\pm8$ D) 4 E) 16
Çözüm: Eşit kök: $k^2-64=0\Rightarrow k=\pm8$; pozitif kök için toplam $=k>0\Rightarrow k=8$. Doğru cevap: A.
$2x^2-4x-3=0$ denkleminin kökleri $x_1,x_2$ ise $\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}$ kaçtır?
A) $-\frac43$ B) $\frac43$ C) $-\frac34$ D) $\frac34$ E) $-\frac23$
Çözüm: $\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{2}{-3/2}=-\dfrac43$. Doğru cevap: A.
11. Mini Deneme (20 Soru — Yüksek Zorluk)
- $4x-7=13$ denklemini sağlayan $x$ kaçtır?
A) 5 B) 4 C) 6 D) 3 E) 7 - $x^2-6x+8=0$ denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?
A) 6 B) 8 C) -6 D) 2 E) 4 - $x^2-6x+8=0$ denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?
A) 8 B) 6 C) -8 D) 2 E) 4 - $x^2-16=0$ denkleminin çözüm kümesi nedir?
A) $\{4,-4\}$ B) $\{16\}$ C) $\{4\}$ D) $\{-4\}$ E) Çözüm yok - $x^2-6x+9=0$ denkleminin kaç farklı gerçek kökü vardır?
A) 1 B) 0 C) 2 D) 3 E) Belirsiz - $x^2+4=0$ denkleminin kaç gerçek kökü vardır?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) Belirsiz - $x+y=8$, $x-y=2$ ise $x$ kaçtır?
A) 5 B) 4 C) 6 D) 3 E) 7 - $3x+2y=16$ ve $x=2$ ise $y$ kaçtır?
A) 5 B) 4 C) 6 D) 3 E) 7 - $x^2=64$ denkleminin çözüm kümesi nedir?
A) $\{8,-8\}$ B) $\{64\}$ C) $\{8\}$ D) $\{-8\}$ E) Çözüm yok - $x^2-9x+20=0$ denkleminin köklerinin kareleri toplamı kaçtır?
A) 41 B) 29 C) 20 D) 9 E) 61 - $3x^2-7x-6=0$ denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?
A) -2 B) 2 C) 7/3 D) -7/3 E) -6 - $x^2-(k+1)x+k=0$ denkleminde $x=1$ her zaman köktür. Diğer kök nedir?
A) $k$ B) $k+1$ C) $-k$ D) $1-k$ E) $k-1$ - $x^2-7x+m=0$ denkleminin köklerinden biri $3$'tür. $m$ kaçtır?
A) 12 B) 10 C) 14 D) 9 E) 15 - $x^2-2x-15=0$ denkleminin köklerinin farkı (büyükten küçük) kaçtır?
A) 8 B) 5 C) 3 D) 2 E) -8 - $x^2+px+q=0$ çift köklü, $p=8$ ise $q$ kaçtır?
A) 16 B) 8 C) 32 D) 4 E) 64 - $x^2-x-12=0$ denkleminin kökleri hakkında ne söylenebilir?
A) Biri pozitif biri negatif, pozitif kök mutlak değerce büyüktür B) İkisi pozitif C) İkisi negatif D) Belirsiz E) İkisi sıfır - $\dfrac x{x-3}+2=\dfrac6{x-3}$ denklemini sağlayan $x$ kaçtır?
A) 4 B) 3 C) 5 D) 6 E) Çözüm yok - $3x-y=7$, $2x+3y=1$ ise $x+y$ kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 0 D) 3 E) -1 - $x^2-3x-18=0$ denkleminin köklerinin farkı (büyükten küçük) kaçtır?
A) 9 B) 6 C) 3 D) 18 E) -9 - $x^4-13x^2+36=0$ denkleminin kaç gerçek kökü vardır?
A) 4 B) 2 C) 8 D) 6 E) 0
12. Cevap Anahtarı
1. A — $4x=20\Rightarrow x=5$.
2. A — Toplam $=6$.
3. A — Çarpım $=8$.
4. A — $x=\pm4$.
5. A — $\Delta=36-36=0$; 1 çift kök.
6. A — $\Delta=0-16=-16<0$; kök yok.
7. A — $2x=10\Rightarrow x=5$.
8. A — $6+2y=16\Rightarrow y=5$.
9. A — $x=\pm8$.
10. A — $81-40=41$.
11. A — $c/a=-6/3=-2$.
12. A — Çarpım $=k$, bir kök $1$; diğeri $k$.
13. A — $9-21+m=0\Rightarrow m=12$.
14. A — $(x-5)(x+3)=0$; fark $=8$.
15. A — $q=64/4=16$.
16. A — Çarpım $=-12<0$ (zıt işaret), toplam $=1>0$ (pozitif baskın).
17. A — $(x-3)$ ile çarp: $x+2(x-3)=6\Rightarrow3x=12\Rightarrow x=4$.
18. A — $y=3x-7$; $2x+3(3x-7)=1\Rightarrow11x=22\Rightarrow x=2,y=-1$; $x+y=1$.
19. A — $(x-6)(x+3)=0$; fark $=9$.
20. A — $t=x^2$: $t=4,9$; $x=\pm2,\pm3$; toplam 4 kök.
13. Ultra Özet
DENKLEMLER — TEK SAYFA
1. Vieta: toplam $=-b/a$, çarpım $=c/a$.
2. $\Delta=b^2-4ac$: pozitifse 2 kök, sıfırsa 1 çift kök, negatifse kök yok.
3. Simetrik ifadeler (kareler toplamı, tersler toplamı) için KÖKLERİ BULMADAN Vieta kullan.
4. Biquadratic ($x^4+px^2+q=0$): $t=x^2$ dönüşümü, her pozitif $t$ iki $x$ verir.
5. $f(0)=c/a$'nın işareti köklerin çarpımının işaretini, dolayısıyla köklerin aynı/zıt işaretli olup olmadığını verir.
14. Son Gün Tekrarı
• Vieta: toplam=-b/a, çarpım=c/a — işareti unutma.
• Simetrik ifadelerde kökleri bulma, doğrudan Vieta kullan.
• Δ>0/=0/<0 kök sayısını belirler.
• $t=x^2$ dönüşümünde her pozitif $t$ İKİ kök verir, unutma.