Eşitsizlikler
(Doğrusal ve İkinci Derece Eşitsizlikler, İşaret Analizi, Rasyonel Eşitsizlikler, Sistemler — İleri Seviye)
1. Konunun Mantığı
Eşitsizlikler, denklemlerin "aralık" versiyonudur. İleri seviyede en kritik beceri İŞARET TABLOSU (kritik noktalarla bölgelere ayırıp her bölgede işareti belirleme) tekniğidir; bu teknik ikinci derece, rasyonel ve hatta üçüncü derece eşitsizliklerde aynı mantıkla çalışır.
2. Sıfırdan Tam Konu Anlatımı
Doğrusal: $ax+b>0$ tipinde; NEGATİF sayıyla çarpma/bölmede yön DEĞİŞİR.
İkinci derece: $ax^2+bx+c$ ifadesinin işareti, KÖKLERİ arasında $a$'nın işaretinin TERSİ, köklerin dışında $a$'nın işaretiyle AYNIdır (üst açık parabol için).
Rasyonel: $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ ifadesinin işareti için hem pay hem paydanın kökleri kritik noktadır; PAYDA SIFIR OLAMAZ (tanım kümesinden çıkar).
3. İleri Düzey Ayrıntılar
- Üç ya da daha fazla çarpanlı ifadelerde ($（x-a)(x-b)(x-c)$) işaret, en sağdan (en büyük kökten sonra $a$'nın işareti) başlayarak her kökte İŞARET DEĞİŞTİRE DEĞİŞTİRE sola doğru belirlenir (basit kökler için).
- Sistem (birden fazla) eşitsizlik varsa, her birinin çözüm kümesi ayrı bulunup KESİŞİMİ alınır.
- AM-GM eşitsizliği: pozitif $a,b$ için $a+b\ge2\sqrt{ab}$; eşitlik SADECE $a=b$'de. Sabit toplamlı ikilinin çarpımı, sayılar EŞİT olduğunda MAKSİMUM olur.
4. Ezber Teknikleri
İkinci derece eşitsizlikte "gülen yüz" ($a>0$, üst açık parabol): kökler ARASI negatif, DIŞI pozitif. "Üzgün yüz" ($a<0$): tam tersi.
5. Karşılaştırma Tabloları
| İfade ($a>0$) | Çözüm |
|---|---|
| $(x-r_1)(x-r_2)>0$ ($r_1<r_2$) | $x<r_1$ veya $x>r_2$ |
| $(x-r_1)(x-r_2)<0$ | $r_1<x<r_2$ |
6. Sınıflandırma Şeması
Eşitsizlik gördüğünde: 1) Kritik noktaları (kökleri, payda sıfırlarını) bul → 2) Sayı doğrusunu bölgelere ayır → 3) Her bölgede bir test noktasıyla işareti belirle → 4) İstenen işarete (>,<,≥,≤) uyan bölgeleri seç, payda sıfırlarını HER ZAMAN dışla.
7. En Çok Karıştırılan Noktalar
Rasyonel eşitsizlikte "çapraz çarpma" ile paydaları yok etmeye çalışmak büyük hatadır (paydanın işareti bilinmediğinden eşitsizlik yönü belirsizleşir); bunun yerine HER ZAMAN tek tarafı sıfıra eşitleyip işaret tablosu kurulmalıdır.
8. ÖSYM Analizi
KPSS'de eşitsizlikler, ikinci derece ifadelerin işaret analiziyle ve sistem (kesişim) sorularıyla gelir; rasyonel eşitsizlik daha nadir ama güçlü adayları ayırt etmek için sorulur.
9. Soru Çözüm Stratejileri
Rasyonel eşitsizlikte asla çapraz çarpma yapma; her zaman tek tarafı sıfırla, ortak paydaya al, işaret tablosu kur.
10. Çözümlü Örnek Sorular (30 Soru — Yükseltilmiş Zorluk)
🟢 Orta-Kolay (1-10)
$2x-3>7$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) $x>5$ B) $x<5$ C) $x>10$ D) $x<10$ E) $x>2$
Çözüm: $2x>10\Rightarrow x>5$. Doğru cevap: A.
$-3x+6<0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) $x>2$ B) $x<2$ C) $x>-2$ D) $x<-2$ E) $x>6$
Çözüm: $-3x<-6$; negatifle bölünce yön değişir: $x>2$. Doğru cevap: A.
$x^2-4>0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) $x<-2$ veya $x>2$ B) $-2<x<2$ C) $x>2$ D) $x<-2$ E) Tüm reel sayılar
Çözüm: Kökler dışı pozitif ($a=1>0$). Doğru cevap: A.
$x^2-4<0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) $-2<x<2$ B) $x<-2$ veya $x>2$ C) $x>2$ D) $x<-2$ E) Çözüm yok
Çözüm: Kökler arası negatif. Doğru cevap: A.
$(x-1)(x-3)>0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) $x<1$ veya $x>3$ B) $1<x<3$ C) $x>3$ D) $x<1$ E) Tüm reel sayılar
Çözüm: Kökler dışı pozitif. Doğru cevap: A.
$(x-1)(x-3)<0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) $1<x<3$ B) $x<1$ veya $x>3$ C) $x>3$ D) $x<1$ E) Çözüm yok
Çözüm: Kökler arası negatif. Doğru cevap: A.
$5x+2\le17$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) $x\le3$ B) $x\ge3$ C) $x\le5$ D) $x\ge5$ E) $x\le7$
Çözüm: $5x\le15\Rightarrow x\le3$. Doğru cevap: A.
$\dfrac x2-1>3$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) $x>8$ B) $x<8$ C) $x>4$ D) $x<4$ E) $x>2$
Çözüm: $\frac x2>4\Rightarrow x>8$. Doğru cevap: A.
$-2<x-1<4$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) $-1<x<5$ B) $-2<x<4$ C) $0<x<5$ D) $-1<x<4$ E) $-3<x<3$
Çözüm: Her tarafa 1 ekle: $-1<x<5$. Doğru cevap: A.
$x^2\ge0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) Tüm reel sayılar B) $x\ge0$ C) $x>0$ D) $x=0$ E) Çözüm yok
Çözüm: Kare her zaman negatif olmayan bir değerdir. Doğru cevap: A.
🟡 Orta-Zor (11-20)
$x^2-5x+6\le0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) $2\le x\le3$ B) $x\le2$ veya $x\ge3$ C) $x<2$ D) $x>3$ E) Çözüm yok
Çözüm: $(x-2)(x-3)\le0\Rightarrow2\le x\le3$. Doğru cevap: A.
$x^2-2x-3\ge0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) $x\le-1$ veya $x\ge3$ B) $-1\le x\le3$ C) $x\ge3$ D) $x\le-1$ E) Tüm reel sayılar
Çözüm: $(x-3)(x+1)\ge0\Rightarrow x\le-1$ veya $x\ge3$. Doğru cevap: A.
$\dfrac{x-2}{x+1}>0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) $x<-1$ veya $x>2$ B) $-1<x<2$ C) $x>2$ D) $x<-1$ E) Tüm reel sayılar hariç $-1$
Çözüm: Kritik noktalar $-1,2$; işaret tablosuyla dışta pozitif. Doğru cevap: A.
$\dfrac{x-2}{x+1}<0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) $-1<x<2$ B) $x<-1$ veya $x>2$ C) $x>2$ D) $x<-1$ E) Çözüm yok
Çözüm: Kritik noktalar arası negatif. Doğru cevap: A.
$|2x-3|<7$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) $-2<x<5$ B) $-5<x<2$ C) $x<5$ D) $x>-2$ E) Çözüm yok
Çözüm: $-7<2x-3<7\Rightarrow-4<2x<10\Rightarrow-2<x<5$. Doğru cevap: A.
$|x+1|\ge3$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) $x\le-4$ veya $x\ge2$ B) $-4\le x\le2$ C) $x\ge2$ D) $x\le-4$ E) Tüm reel sayılar
Çözüm: $x+1\le-3$ veya $x+1\ge3\Rightarrow x\le-4$ veya $x\ge2$. Doğru cevap: A.
$x^2+x-6<0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) $-3<x<2$ B) $x<-3$ veya $x>2$ C) $x>2$ D) $x<-3$ E) Çözüm yok
Çözüm: $(x+3)(x-2)<0\Rightarrow-3<x<2$. Doğru cevap: A.
$2<x<7$ VE $x^2-9>0$ sistemini birlikte sağlayan $x$ aralığı nedir?
A) $3<x<7$ B) $2<x<3$ C) $x>7$ D) $2<x<7$ E) $x<-3$
Çözüm: $x^2-9>0\Rightarrow x<-3$ veya $x>3$; $(2,7)$ ile kesişim: $(3,7)$. Doğru cevap: A.
$3x-1\ge2x+4$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) $x\ge5$ B) $x\le5$ C) $x\ge-5$ D) $x\le-5$ E) $x\ge1$
Çözüm: $x\ge5$. Doğru cevap: A.
$-x^2+4x-3\ge0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) $1\le x\le3$ B) $x\le1$ veya $x\ge3$ C) $x<1$ D) $x>3$ E) Çözüm yok
Çözüm: $-1$ ile çarp, yön değişir: $x^2-4x+3\le0\Rightarrow(x-1)(x-3)\le0\Rightarrow1\le x\le3$. Doğru cevap: A.
🔴 Zor (21-30)
$(x-1)(x-2)(x-3)>0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) $1<x<2$ veya $x>3$ B) $x<1$ veya $2<x<3$ C) $x>3$ D) $1<x<3$ E) Tüm reel sayılar
Çözüm: İşaret tablosu (üç basit kök): en sağdan başlayarak $+,-,+,-$ sırayla; pozitif bölgeler $1<x<2$ ve $x>3$. Doğru cevap: A.
$x^2-5x+6\le0$ VE $x^2-9\ge0$ sistemini birlikte sağlayan $x$ değer(ler)i nedir?
A) $\{3\}$ B) $[2,3]$ C) Boş küme D) $[3,\infty)$ E) $\{2,3\}$
Çözüm: Birinci: $[2,3]$; ikinci: $x\le-3$ veya $x\ge3$; kesişim tek nokta $\{3\}$. Doğru cevap: A.
$\dfrac1{x-1}<\dfrac1{x+1}$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir ($x\ne\pm1$)?
A) $-1<x<1$ B) $x<-1$ veya $x>1$ C) $x>1$ D) $x<-1$ E) Çözüm yok
Çözüm: Fark: $\frac1{x-1}-\frac1{x+1}=\frac{2}{x^2-1}<0\Rightarrow x^2-1<0\Rightarrow-1<x<1$. Doğru cevap: A.
$|x-2|+|x-5|<10$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) $-1,5<x<8,5$ B) $-10<x<10$ C) $2<x<5$ D) $x<8,5$ E) $x>-1,5$
Çözüm: Bölgesel çözüm: $x<2$'de $7-2x<10\Rightarrow x>-1,5$; $[2,5]$ her zaman sağlar (toplam sabit 3); $x>5$'te $2x-7<10\Rightarrow x<8,5$; birleşim: $-1,5<x<8,5$. Doğru cevap: A.
$x^2-4x+c>0$ eşitsizliği TÜM gerçek $x$ için sağlanıyorsa, $c$ hangi aralıkta olmalıdır?
A) $c>4$ B) $c<4$ C) $c\ge4$ D) $c\le4$ E) $c=4$
Çözüm: $\Delta=16-4c<0\Rightarrow c>4$. Doğru cevap: A.
Pozitif $a,b$ için $a+b=10$ ise $ab$ ifadesinin ALABİLECEĞİ en büyük değer kaçtır (AM-GM)?
A) 25 B) 20 C) 50 D) 10 E) 100
Çözüm: AM-GM eşitliği $a=b=5$'te maksimuma ulaşır: $ab=25$. Doğru cevap: A.
$\dfrac x{x-3}\ge2$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) $3<x\le6$ B) $3\le x<6$ C) $x<3$ veya $x>6$ D) $x>6$ E) Çözüm yok
Çözüm: $\frac{x}{x-3}-2\ge0\Rightarrow\frac{6-x}{x-3}\ge0$; kritik noktalar $3,6$; işaret analizi: $3<x\le6$. Doğru cevap: A.
Pozitif reel $a,b$ için $a^2+b^2\ge2ab$ eşitsizliği (her zaman doğru) hangi koşulda EŞİTLİK olur?
A) $a=b$ B) $a=-b$ C) $a=0$ veya $b=0$ D) Hiçbir zaman E) $a,b$ negatif olduğunda
Çözüm: $(a-b)^2\ge0$'dan gelir; eşitlik sadece $a=b$'de. Doğru cevap: A.
$x^2-2x-8\le0$ VE $x\ge-1$ sistemini birlikte sağlayan $x$ aralığı nedir?
A) $-1\le x\le4$ B) $-2\le x\le4$ C) $x\ge-1$ D) $-2\le x\le-1$ E) Çözüm yok
Çözüm: $(x-4)(x+2)\le0\Rightarrow-2\le x\le4$; $x\ge-1$ ile kesişim: $-1\le x\le4$. Doğru cevap: A.
$|x|+|x-4|=4$ denkleminin çözüm kümesi hakkında ne söylenebilir?
A) Sonsuz çözüm vardır, $0\le x\le4$ aralığındaki her $x$ çözümdür B) 2 çözüm vardır C) 1 çözüm vardır D) Çözüm yoktur E) 4 çözüm vardır
Çözüm: Minimum değer $|4-0|=4$'tür ve bu minimum, $x\in[0,4]$ aralığındaki HER $x$ için gerçekleşir; sonsuz çözüm. Doğru cevap: A.
11. Mini Deneme (20 Soru — Yüksek Zorluk)
- $3x-2>10$ eşitsizliğinin çözümü nedir?
A) $x>4$ B) $x<4$ C) $x>10$ D) $x<10$ E) $x>2$ - $-2x+4\le0$ eşitsizliğinin çözümü nedir?
A) $x\ge2$ B) $x\le2$ C) $x\ge-2$ D) $x\le-2$ E) $x\ge4$ - $x^2-16>0$ eşitsizliğinin çözümü nedir?
A) $x<-4$ veya $x>4$ B) $-4<x<4$ C) $x>4$ D) $x<-4$ E) Tüm reel sayılar - $x^2-16<0$ eşitsizliğinin çözümü nedir?
A) $-4<x<4$ B) $x<-4$ veya $x>4$ C) $x>4$ D) $x<-4$ E) Çözüm yok - $(x-2)(x-5)>0$ eşitsizliğinin çözümü nedir?
A) $x<2$ veya $x>5$ B) $2<x<5$ C) $x>5$ D) $x<2$ E) Tüm reel sayılar - $(x-2)(x-5)<0$ eşitsizliğinin çözümü nedir?
A) $2<x<5$ B) $x<2$ veya $x>5$ C) $x>5$ D) $x<2$ E) Çözüm yok - $4x+3\le19$ eşitsizliğinin çözümü nedir?
A) $x\le4$ B) $x\ge4$ C) $x\le19$ D) $x\ge19$ E) $x\le3$ - $\dfrac x3-2>1$ eşitsizliğinin çözümü nedir?
A) $x>9$ B) $x<9$ C) $x>3$ D) $x<3$ E) $x>6$ - $-1<x+2<5$ eşitsizliğinin çözümü nedir?
A) $-3<x<3$ B) $-1<x<5$ C) $1<x<7$ D) $-3<x<5$ E) $0<x<3$ - $x^2+1>0$ eşitsizliğinin çözümü nedir?
A) Tüm reel sayılar B) $x>0$ C) $x<0$ D) $x=0$ E) Çözüm yok - $x^2-3x-4\le0$ eşitsizliğinin çözümü nedir?
A) $-1\le x\le4$ B) $x\le-1$ veya $x\ge4$ C) $x<-1$ D) $x>4$ E) Çözüm yok - $x^2-x-6\ge0$ eşitsizliğinin çözümü nedir?
A) $x\le-2$ veya $x\ge3$ B) $-2\le x\le3$ C) $x\ge3$ D) $x\le-2$ E) Tüm reel sayılar - $\dfrac{x-1}{x-4}>0$ eşitsizliğinin çözümü nedir?
A) $x<1$ veya $x>4$ B) $1<x<4$ C) $x>4$ D) $x<1$ E) Tüm reel sayılar hariç 4 - $\dfrac{x-1}{x-4}<0$ eşitsizliğinin çözümü nedir?
A) $1<x<4$ B) $x<1$ veya $x>4$ C) $x>4$ D) $x<1$ E) Çözüm yok - $|3x-1|<8$ eşitsizliğinin çözümü nedir?
A) $-\frac73<x<3$ B) $-3<x<\frac73$ C) $x<3$ D) $x>-\frac73$ E) Çözüm yok - $|x-3|\ge5$ eşitsizliğinin çözümü nedir?
A) $x\le-2$ veya $x\ge8$ B) $-2\le x\le8$ C) $x\ge8$ D) $x\le-2$ E) Tüm reel sayılar - $x^2-x-2<0$ eşitsizliğinin çözümü nedir?
A) $-1<x<2$ B) $x<-1$ veya $x>2$ C) $x>2$ D) $x<-1$ E) Çözüm yok - $x>1$ VE $x^2-9<0$ sistemini birlikte sağlayan $x$ aralığı nedir?
A) $1<x<3$ B) $-3<x<1$ C) $x>3$ D) $x<-3$ E) Çözüm yok - $2x+1\ge3x-4$ eşitsizliğinin çözümü nedir?
A) $x\le5$ B) $x\ge5$ C) $x\le-5$ D) $x\ge-5$ E) $x\le1$ - $-x^2+x+2\ge0$ eşitsizliğinin çözümü nedir?
A) $-1\le x\le2$ B) $x\le-1$ veya $x\ge2$ C) $x<-1$ D) $x>2$ E) Çözüm yok
12. Cevap Anahtarı
1. A — $3x>12\Rightarrow x>4$.
2. A — $-2x\le-4\Rightarrow x\ge2$.
3. A — Kökler dışı pozitif.
4. A — Kökler arası negatif.
5. A — Kökler dışı pozitif.
6. A — Kökler arası negatif.
7. A — $4x\le16\Rightarrow x\le4$.
8. A — $\frac x3>3\Rightarrow x>9$.
9. A — Her tarafa 2 çıkar: $-3<x<3$.
10. A — Her zaman doğru.
11. A — $(x-4)(x+1)\le0\Rightarrow-1\le x\le4$.
12. A — $(x-3)(x+2)\ge0\Rightarrow x\le-2$ veya $x\ge3$.
13. A — Kritik noktalar dışı pozitif.
14. A — Kritik noktalar arası negatif.
15. A — $-8<3x-1<8\Rightarrow-7<3x<9\Rightarrow-\frac73<x<3$.
16. A — $x-3\le-5$ veya $x-3\ge5\Rightarrow x\le-2$ veya $x\ge8$.
17. A — $(x-2)(x+1)<0\Rightarrow-1<x<2$.
18. A — $x^2-9<0\Rightarrow-3<x<3$; $x>1$ ile kesişim: $1<x<3$.
19. A — $-x\ge-5\Rightarrow x\le5$.
20. A — $-1$ ile çarp, yön değişir: $x^2-x-2\le0\Rightarrow-1\le x\le2$.
13. Ultra Özet
EŞİTSİZLİKLER — TEK SAYFA
1. Negatifle çarpma/bölmede yön DEĞİŞİR.
2. İkinci derece ($a>0$): kökler arası negatif, dışı pozitif.
3. Rasyonel eşitsizlikte çapraz çarpma YAPMA; tek tarafı sıfırla, işaret tablosu kur.
4. Sistemlerde her eşitsizliğin çözümünü ayrı bul, KESİŞİMİNİ al.
5. AM-GM: sabit toplamlı pozitif ikilinin çarpımı, sayılar EŞİT olduğunda maksimum olur.
14. Son Gün Tekrarı
• Negatifle çarpımda/bölümde yön değişir, unutma.
• "Gülen yüz" kuralı: kökler arası zıt, dışı aynı işaret.
• Rasyonelde çapraz çarpma yasak; sıfırla, tablo kur.
• Sistemde KESİŞİM al, birleşim değil.
• AM-GM'de eşitlik durumu = sayılar eşit.