Sayı Problemleri
(Ardışık Sayılar, Basamak Problemleri, Rakam Toplamı-Modüler Özellikler — İleri Seviye)
1. Konunun Mantığı
Sayı problemleri, cebirsel ifade kurma becerisini test eder. İleri seviyede iki basamaklı bir sayıyı $\overline{ab}=10a+b$ biçiminde İFADE ETMEK ve "rakamları toplamı ile sayı arasındaki fark her zaman 9'un katıdır" gibi MODÜLER özellikleri tanımak, çözümü saniyeler içine indirir.
2. Sıfırdan Tam Konu Anlatımı
Ardışık sayılar: $n,n+1,n+2,\ldots$ (tam sayı); $n,n+2,n+4,\ldots$ (çift ya da tek sayılar).
İki basamaklı sayı: $\overline{ab}=10a+b$ ($a$: onlar, $b$: birler basamağı, $a\ne0$). Rakamları YER DEĞİŞTİRİLMİŞ hâli: $\overline{ba}=10b+a$.
Fark özdeşliği: $\overline{ab}-\overline{ba}=9(a-b)$; toplamı: $\overline{ab}+\overline{ba}=11(a+b)$.
3. İleri Düzey Ayrıntılar
- Bir sayı ile rakamları toplamı arasındaki fark HER ZAMAN 9'un katıdır (çünkü $10\equiv1\pmod9$); bu, sayıların 9'a bölünebilme kuralının da temelidir.
- Ardışık $k$ tane sayının toplamı, ORTANCA terimin $k$ katına eşittir (tek sayıda terim varsa).
- Üç basamaklı $\overline{aba}$ (palindrom) sayı sayma problemlerinde, ilk ve son rakam AYNI ($a\ne0$, 9 seçenek), orta rakam SERBEST (10 seçenek): toplam $9\times10=90$.
4. Ezber Teknikleri
İki basamaklı sayı problemlerinde HER ZAMAN $\overline{ab}=10a+b$ yaz; asla "$ab$" çarpım gibi düşünme.
5. Karşılaştırma Tabloları
| İfade | Formül |
|---|---|
| İki basamaklı sayı | $10a+b$ |
| Ters çevrilmiş | $10b+a$ |
| Fark | $9(a-b)$ |
| Toplam | $11(a+b)$ |
6. Sınıflandırma Şeması
Sayı problemi gördüğünde: 1) Bilinmeyeni tanımla ($n$, ya da $\overline{ab}$ gibi) → 2) Cümledeki her koşulu birer denkleme çevir → 3) Sistemi çöz → 4) Basamak problemiyse hazır özdeşlikleri (fark $9(a-b)$, toplam $11(a+b)$) kullanmayı dene.
7. En Çok Karıştırılan Noktalar
"$\overline{ab}$" ifadesini $a\times b$ (çarpım) ile karıştırmak çok yaygın bir hatadır; üstteki çizgi bunun bir SAYI (10a+b) olduğunu, çarpım olmadığını gösterir.
8. ÖSYM Analizi
KPSS'de sayı problemleri, ardışık sayı ve basamak (rakam) problemleri şeklinde düzenli olarak gelir; çözüm için cebirsel denklem kurma becerisi belirleyicidir.
9. Soru Çözüm Stratejileri
"Rakamları toplamının katı" gibi ifadeler geçtiğinde deneme-yanılmayı (küçük değerlerden başlayarak) cebirsel çözümle birlikte kullan; genelde tek bir küçük tam sayı çözümü olur.
10. Çözümlü Örnek Sorular (30 Soru — Yükseltilmiş Zorluk)
🟢 Orta-Kolay (1-10)
İki ardışık tam sayının toplamı 45 ise büyük sayı kaçtır?
A) 23 B) 22 C) 24 D) 21 E) 20
Çözüm: $n+(n+1)=45\Rightarrow n=22$; büyük $=23$. Doğru cevap: A.
Üç ardışık tam sayının toplamı 72 ise ortanca sayı kaçtır?
A) 24 B) 23 C) 25 D) 22 E) 26
Çözüm: Ortanca $\times3=72\Rightarrow24$. Doğru cevap: A.
Bir sayının 3 katının 5 fazlası 32'dir. Sayı kaçtır?
A) 9 B) 8 C) 10 D) 7 E) 11
Çözüm: $3x+5=32\Rightarrow x=9$. Doğru cevap: A.
İki ardışık çift sayının toplamı 54'tür. Küçük sayı kaçtır?
A) 26 B) 24 C) 28 D) 25 E) 27
Çözüm: $n+(n+2)=54\Rightarrow n=26$. Doğru cevap: A.
Bir sayının yarısının 3 fazlası 15'tir. Sayı kaçtır?
A) 24 B) 20 C) 18 D) 22 E) 26
Çözüm: $\frac x2+3=15\Rightarrow x=24$. Doğru cevap: A.
İki basamaklı bir sayının rakamları toplamı 11'dir; onlar basamağı birler basamağından 3 fazladır. Sayı nedir?
A) 74 B) 47 C) 83 D) 38 E) 65
Çözüm: $a+b=11,a=b+3\Rightarrow2b+3=11\Rightarrow b=4,a=7$; sayı $=74$. Doğru cevap: A.
Bir sayının 2 katından 7 çıkarılırsa 15 elde ediliyor. Sayı kaçtır?
A) 11 B) 10 C) 12 D) 9 E) 13
Çözüm: $2x-7=15\Rightarrow x=11$. Doğru cevap: A.
İki ardışık tek sayının toplamı 56'dır. Büyük sayı kaçtır?
A) 29 B) 27 C) 31 D) 25 E) 33
Çözüm: $n+(n+2)=56\Rightarrow n=27$; büyük $=29$. Doğru cevap: A.
Bir sayının %20 fazlası 60'tır. Sayı kaçtır?
A) 50 B) 48 C) 45 D) 55 E) 52
Çözüm: $1,2x=60\Rightarrow x=50$. Doğru cevap: A.
İki sayının toplamı 50, farkı 12'dir. Büyük sayı kaçtır?
A) 31 B) 29 C) 19 D) 25 E) 33
Çözüm: Büyük $=\frac{50+12}2=31$. Doğru cevap: A.
🟡 Orta-Zor (11-20)
İki basamaklı bir sayı ile rakamları yer değiştirilmiş hâli arasındaki fark 36'dır. Onlar basamağı, birler basamağından kaç fazladır?
A) 4 B) 3 C) 5 D) 6 E) 2
Çözüm: $9(a-b)=36\Rightarrow a-b=4$. Doğru cevap: A.
Üç ardışık çift sayının toplamı, en büyüğünün 5 katından 22 azdır. Ortanca sayı kaçtır?
A) 6 B) 8 C) 10 D) 4 E) 12
Çözüm: Sayılar $n-2,n,n+2$; toplam $3n$; $5(n+2)-22=3n\Rightarrow2n=12\Rightarrow n=6$. Doğru cevap: A.
İki basamaklı bir sayının rakamları toplamı 9'dur ve sayı, rakamları toplamının 6 katıdır. Sayı nedir?
A) 54 B) 45 C) 63 D) 72 E) 36
Çözüm: Sayı $=6\times9=54$; $5+4=9$ ✓. Doğru cevap: A.
Bir sayının 4 katı ile 15'in toplamı, aynı sayının 7 katından 6 eksiktir. Sayı kaçtır?
A) 7 B) 6 C) 8 D) 9 E) 5
Çözüm: $4x+15=7x-6\Rightarrow21=3x\Rightarrow x=7$. Doğru cevap: A.
İki basamaklı bir sayının birler basamağı, onlar basamağının 2 katıdır; rakamları toplamı 12'dir. Sayı nedir?
A) 48 B) 84 C) 39 D) 93 E) 26
Çözüm: $a+b=12,b=2a\Rightarrow3a=12\Rightarrow a=4,b=8$; sayı $=48$. Doğru cevap: A.
Üç ardışık tam sayının kareleri toplamı 302'dir. Ortanca sayı kaçtır?
A) 10 B) 9 C) 11 D) 8 E) 12
Çözüm: $(n-1)^2+n^2+(n+1)^2=3n^2+2=302\Rightarrow n^2=100\Rightarrow n=10$. Doğru cevap: A.
Bir sayının karesi, kendisinin 5 katından 6 fazladır. Sayı (pozitif) kaçtır?
A) 6 B) 5 C) 7 D) 4 E) 8
Çözüm: $x^2=5x+6\Rightarrow(x-6)(x+1)=0\Rightarrow x=6$. Doğru cevap: A.
İki sayının çarpımı 96, toplamı 20'dir. Büyük sayı kaçtır?
A) 12 B) 10 C) 14 D) 16 E) 8
Çözüm: $t^2-20t+96=0\Rightarrow t=12,8$; büyük $=12$. Doğru cevap: A.
Bir sayının 3 katının karesi, aynı sayının karesinin 3 katından 96 fazladır. Sayı (pozitif) kaçtır?
A) 4 B) 3 C) 5 D) 6 E) 8
Çözüm: $(3x)^2=3x^2+96\Rightarrow9x^2-3x^2=96\Rightarrow6x^2=96\Rightarrow x^2=16\Rightarrow x=4$. Doğru cevap: A.
Ardışık 5 tam sayının toplamı 100'dür. En küçüğü kaçtır?
A) 18 B) 17 C) 19 D) 16 E) 20
Çözüm: Ortanca $=100/5=20$; en küçük $=20-2=18$. Doğru cevap: A.
🔴 Zor (21-30)
İki basamaklı bir sayı ile rakamları yer değiştirilmiş hâli toplanınca 121 elde ediliyor. Bu sayının rakamları toplamı kaçtır?
A) 11 B) 10 C) 12 D) 9 E) 13
Çözüm: $11(a+b)=121\Rightarrow a+b=11$. Doğru cevap: A.
Üç basamaklı bir sayının rakamları toplamı 15'tir; yüzler basamağı birler basamağının 2 katıdır ve onlar basamağı 3'tür. Sayı nedir?
A) 843 B) 834 C) 483 D) 438 E) 384
Çözüm: $y+3+b=15\Rightarrow y+b=12$, $y=2b\Rightarrow3b=12\Rightarrow b=4,y=8$; sayı $=843$. Doğru cevap: A.
Bir sayı ile rakamları toplamı arasındaki farkın her zaman 9'un katı olması hangi özellikten kaynaklanır?
A) $10\equiv1\pmod9$ olduğundan, sayı ile rakamları toplamı arasındaki fark her zaman 9'un katıdır B) Rastgele bir tesadüftür C) Sadece bazı sayılar için doğrudur D) Hiçbir zaman doğru değildir E) Sadece çift sayılar için doğrudur
Çözüm: $10\equiv1\pmod9$ olduğundan her basamağın "ağırlığı" mod 9'da 1'dir; bu yüzden sayı $\equiv$ rakamları toplamı $\pmod9$. Doğru cevap: A.
$\overline{aba}$ biçimindeki (baştan ve sondan aynı rakamlı, $a\ne0$) üç basamaklı sayılardan kaç tanesi vardır?
A) 90 B) 81 C) 100 D) 45 E) 72
Çözüm: $a$ için 9 seçenek (1-9), $b$ için 10 seçenek (0-9): $9\times10=90$. Doğru cevap: A.
İki basamaklı, sayının kendisi rakamları toplamının 7 katına eşit olan kaç sayı vardır?
A) 4 B) 3 C) 5 D) 2 E) 6
Çözüm: $10a+b=7(a+b)\Rightarrow3a=6b\Rightarrow a=2b$; $b=1,2,3,4$ için $a=2,4,6,8$ (hepsi geçerli basamak): 4 sayı (21,42,63,84). Doğru cevap: A.
$n(n+1)\le999$ eşitsizliğini sağlayan en büyük pozitif tam sayı $n$ kaçtır?
A) 31 B) 30 C) 32 D) 29 E) 33
Çözüm: $31\times32=992\le999$ ✓; $32\times33=1056>999$; en büyük $n=31$. Doğru cevap: A.
Bir sayının 3 katının 2 fazlası ile 4 katının 5 eksiği birbirine eşittir. Sayı kaçtır?
A) 7 B) 6 C) 8 D) 9 E) 5
Çözüm: $3x+2=4x-5\Rightarrow x=7$. Doğru cevap: A.
İki basamaklı bir sayı ile 9 arasındaki fark, sayının rakamları toplamının 8 katına eşittir. Sayı nedir?
A) 81 B) 18 C) 72 D) 27 E) 63
Çözüm: $10a+b-9=8(a+b)\Rightarrow2a-7b=9$; $b=1$ için $a=8$; sayı $=81$; kontrol: $81-9=72=8\times9$ ✓. Doğru cevap: A.
Ardışık üç pozitif tam sayının çarpımı 210'dur. Bu üç sayının toplamı kaçtır?
A) 18 B) 15 C) 21 D) 12 E) 24
Çözüm: $5\times6\times7=210$; toplam $=18$. Doğru cevap: A.
İki basamaklı bir sayının karesi ile kendisi arasındaki fark, sayının 20 katına eşittir. Sayı (sıfırdan farklı) kaçtır?
A) 21 B) 20 C) 19 D) 22 E) 18
Çözüm: $x^2-x=20x\Rightarrow x^2=21x\Rightarrow x=21$ ($x\ne0$). Doğru cevap: A.
11. Mini Deneme (20 Soru — Yüksek Zorluk)
- İki ardışık tam sayının toplamı 37 ise büyük sayı kaçtır?
A) 19 B) 18 C) 20 D) 17 E) 21 - Üç ardışık tam sayının toplamı 60 ise ortanca sayı kaçtır?
A) 20 B) 19 C) 21 D) 18 E) 22 - Bir sayının 4 katının 3 fazlası 27'dir. Sayı kaçtır?
A) 6 B) 5 C) 7 D) 4 E) 8 - İki ardışık çift sayının toplamı 38'dir. Küçük sayı kaçtır?
A) 18 B) 16 C) 20 D) 17 E) 19 - Bir sayının yarısının 5 fazlası 20'dir. Sayı kaçtır?
A) 30 B) 25 C) 28 D) 32 E) 35 - İki basamaklı bir sayının rakamları toplamı 9, onlar basamağı birler basamağının 2 katıdır. Sayı nedir?
A) 63 B) 36 C) 54 D) 45 E) 72 - Bir sayının 3 katından 5 çıkarılırsa 16 elde ediliyor. Sayı kaçtır?
A) 7 B) 6 C) 8 D) 5 E) 9 - İki ardışık tek sayının toplamı 48'dir. Büyük sayı kaçtır?
A) 25 B) 23 C) 27 D) 21 E) 29 - Bir sayının %25 fazlası 50'dir. Sayı kaçtır?
A) 40 B) 38 C) 42 D) 45 E) 35 - İki sayının toplamı 40, farkı 8'dir. Büyük sayı kaçtır?
A) 24 B) 22 C) 16 D) 20 E) 26 - İki basamaklı bir sayı ile ters çevrilmiş hâli arasındaki fark 27'dir. Rakamlar farkı ($a-b$) kaçtır?
A) 3 B) 2 C) 4 D) 5 E) 1 - Üç ardışık tek sayının toplamı, en büyüğünün 4 katından 15 azdır. Ortanca sayı kaçtır?
A) 7 B) 5 C) 9 D) 3 E) 11 - İki basamaklı bir sayı, rakamları toplamının 7 katıdır ve rakamları toplamı 9'dur. Sayı nedir?
A) 63 B) 54 C) 72 D) 45 E) 81 - Bir sayının 5 katı ile 12'nin toplamı, aynı sayının 8 katından 9 eksiktir. Sayı kaçtır?
A) 7 B) 6 C) 8 D) 9 E) 5 - İki basamaklı bir sayının birler basamağı, onlar basamağının 3 katıdır; rakamları toplamı 8'dir. Sayı nedir?
A) 26 B) 62 C) 39 D) 93 E) 17 - Üç ardışık tam sayının kareleri toplamı 194'tür. Ortanca sayı kaçtır?
A) 8 B) 7 C) 9 D) 6 E) 10 - Bir sayının karesi, kendisinin 6 katından 16 fazladır. Pozitif sayı kaçtır?
A) 8 B) 7 C) 9 D) 6 E) 10 - İki sayının çarpımı 45, toplamı 14'tür. Büyük sayı kaçtır?
A) 9 B) 8 C) 10 D) 7 E) 11 - Ardışık 5 tam sayının toplamı 75'tir. En küçüğü kaçtır?
A) 13 B) 12 C) 14 D) 11 E) 15 - İki basamaklı bir sayı ile ters çevrilmiş hâli toplamı 88'dir. Rakamları toplamı kaçtır?
A) 8 B) 7 C) 9 D) 6 E) 10
12. Cevap Anahtarı
1. A — $n=18$, büyük $=19$.
2. A — $3n=60\Rightarrow n=20$.
3. A — $4x+3=27\Rightarrow x=6$.
4. A — $2n+2=38\Rightarrow n=18$.
5. A — $x/2+5=20\Rightarrow x=30$.
6. A — $a+b=9,a=2b\Rightarrow3b=9\Rightarrow b=3,a=6$; sayı $=63$.
7. A — $3x-5=16\Rightarrow x=7$.
8. A — $n+(n+2)=48\Rightarrow n=23$, büyük $=25$.
9. A — $1,25x=50\Rightarrow x=40$.
10. A — Büyük $=(40+8)/2=24$.
11. A — $9(a-b)=27\Rightarrow a-b=3$.
12. A — $4(n+2)-15=3n\Rightarrow n=7$.
13. A — Sayı $=7\times9=63$; $6+3=9$ ✓.
14. A — $5x+12=8x-9\Rightarrow x=7$.
15. A — $a+b=8,b=3a\Rightarrow4a=8\Rightarrow a=2,b=6$; sayı $=26$.
16. A — $3n^2+2=194\Rightarrow n^2=64\Rightarrow n=8$.
17. A — $x^2=6x+16\Rightarrow(x-8)(x+2)=0\Rightarrow x=8$.
18. A — $t^2-14t+45=0\Rightarrow t=9,5$; büyük $=9$.
19. A — Ortanca $=15$, en küçük $=13$.
20. A — $11(a+b)=88\Rightarrow a+b=8$.
13. Ultra Özet
SAYI PROBLEMLERİ — TEK SAYFA
1. İki basamaklı sayı: $\overline{ab}=10a+b$; ters çevrilmiş: $10b+a$.
2. Fark: $9(a-b)$; toplam: $11(a+b)$ — hazır formülleri kullan.
3. Ardışık $k$ sayının toplamı $=$ ortanca $\times k$ (tek $k$ için).
4. Sayı $\equiv$ rakamları toplamı $\pmod9$ (10≡1 mod 9 özdeşliğinden).
5. Palindrom ($\overline{aba}$) sayma: ilk/son rakam bağımlı (9 seçenek), orta serbest (10 seçenek).
14. Son Gün Tekrarı
• $\overline{ab}=10a+b$ — asla çarpım sanma.
• Fark $9(a-b)$, toplam $11(a+b)$ formüllerini ezbere bil.
• Ardışık sayı toplamında ortancayı bul, sayıyla çarp.
• Rakam toplamı ile sayı arasındaki fark her zaman 9'un katı.