Çarpanlara Ayırma 3

1. x³ + 1 ifadesinin çarpanları nedir?

• A) (x + 1)(x² - x + 1) ✓
• B) (x + 1)³
• C) (x + 1)(x² + x + 1)
• D) (x - 1)(x² + x + 1)

İki küp toplamı özdeşliği kullanılır. Formül: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) • İfade: x³ + 1³ • Açılım: (x + 1)(x² - x + 1) Sonuç: (x + 1)(x² - x + 1)

2. f(x) = x³ + 3x² + 3x + 7 olduğuna göre, x = ∛5 - 1 için f(x) kaçtır?

• A) 11 ✓
• B) 12
• C) 5
• D) 7

Fonksiyonu düzenleyelim: • f(x) = (x + 1)³ + 6 • x yerine ∛5 - 1 yazalım: • (∛5 - 1 + 1)³ + 6 = (∛5)³ + 6 = 5 + 6 = 11. Sonuç: 11.

3. √(1002 . 1000 + 1) işleminin sonucu kaçtır?

• A) 1001 ✓
• B) 1000
• C) 1002
• D) 1003

1001 = a olsun. 1002 = a+1, 1000 = a-1. • √( (a+1)(a-1) + 1 ) • √( a² - 1 + 1 ) = √a² = a • a = 1001. Sonuç: 1001.

4. A = 100 + 110 + 120 + ... + 200 olduğuna göre, A sayısının asal çarpanları toplamı kaçtır?

• A) 21 ✓
• B) 35
• C) 38
• D) 39

A'yı düzenleyelim: • A = 10.(10 + 11 + ... + 20) • Parantez içi toplam: [20.21/2] - [9.10/2] = 210 - 45 = 165 • A = 10 . 165 = (2.5) . (3.5.11) = 2 . 3 . 5² . 11 • Asal çarpanlar: 2, 3, 5, 11 • Toplam: 2 + 3 + 5 + 11 = 21. Sonuç: 21.

5. a + b = 5 ve a.b = 9 olduğuna göre, a³ + b³ kaçtır?

• A) -10 ✓
• B) -5
• C) 10
• D) 25

a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) • 5³ - 3(9)(5) = 125 - 135 = -10. Sonuç: -10.

6. x² + 2xy + y² - 9 ifadesinin çarpanları nedir?

• A) (x + y - 3)(x + y + 3) ✓
• B) (x - y - 3)(x - y + 3)
• C) (x + y - 9)(x + y + 1)
• D) (x + y)² - 9

Tam kare ve iki kare farkı bir arada kullanılır. • Adım 1: (x² + 2xy + y²) - 9 = (x + y)² - 3² • Adım 2: [(x + y) - 3][(x + y) + 3] Sonuç: (x + y - 3)(x + y + 3)

7. x ≠ 2 ve x³ = 8 olmak üzere, x² + 2x + 13 işleminin sonucu kaçtır?

• A) 9 ✓
• B) 13
• C) -4
• D) 0

x³ - 8 = 0 → (x - 2)(x² + 2x + 4) = 0 • x ≠ 2 olduğundan x² + 2x + 4 = 0 olmalı. • x² + 2x = -4 • x² + 2x + 13 = -4 + 13 = 9. Sonuç: 9.

8. x² - 10x + 21 ifadesinin çarpanları nedir?

• A) (x - 7)(x - 3) ✓
• B) (x + 7)(x + 3)
• C) (x - 21)(x - 1)
• D) (x - 7)(x + 3)

Üç terimli ifade çarpanlarına ayrılır. • Sayılar: -7 ve -3 • Kontrol: (-7).(-3)=21 ve (-7)+(-3)=-10 Sonuç: (x - 7)(x - 3)

9. x² - y² - 4x + 4 ifadesinin çarpanları nedir?

• A) (x - 2 - y)(x - 2 + y) ✓
• B) (x - y - 2)(x + y - 2)
• C) (x - 2 - y)²
• D) (x - 4 - y)(x + y)

Tam kare ve iki kare farkı bir arada kullanılır. • Adım 1: (x² - 4x + 4) - y² = (x - 2)² - y² • Adım 2: [(x - 2) - y][(x - 2) + y] Sonuç: (x - 2 - y)(x - 2 + y)

10. ab + 2a + 3b + 6 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) (a + 3)(b + 2) ✓
• B) (a + 2)(b + 3)
• C) (a + b)(a + 6)
• D) (a - 3)(b - 2)

Gruplandıralım (a ve 3 parantezi). • a(b + 2) + 3(b + 2) • (b + 2)(a + 3). Sonuç: (a + 3)(b + 2).

11. 2x² - 18 ifadesinin çarpanları nedir?

• A) 2(x - 3)(x + 3) ✓
• B) 2(x - 9)
• C) 2(x - 3)²
• D) (2x - 6)(x + 3)

Önce ortak çarpan, sonra iki kare farkı uygulanır. • Adım 1: 2(x² - 9) • Adım 2: 2(x² - 3²) • Adım 3: 2(x - 3)(x + 3) Sonuç: 2(x - 3)(x + 3)

12. 2x² - 8y² ifadesinin çarpanları nedir?

• A) 2(x - 2y)(x + 2y) ✓
• B) 2(x - 4y)(x + y)
• C) (2x - 4y)(x + 2y)
• D) 2(x - 2y)²

Önce ortak çarpan, sonra iki kare farkı uygulanır. • Adım 1: 2(x² - 4y²) • Adım 2: 2[x² - (2y)²] • Adım 3: 2(x - 2y)(x + 2y) Sonuç: 2(x - 2y)(x + 2y)

13. a³ + 3a²b = 2 ve b³ + 3ab² = 6 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

• A) 2 ✓
• B) 4
• C) 8
• D) 1

Taraf tarafa toplayalım: • a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = 2 + 6 • (a + b)³ = 8 • a + b = 2. Sonuç: 2.

14. 8a²b - 12ab² ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) 4ab(2a - 3b) ✓
• B) 4a²(2b - 3)
• C) 2ab(4a - 6b)
• D) 4b(2a² - 3ab)

Her terimde 4ab ortaktır. • 8a²b - 12ab² = 4ab(2a - 3b). Sonuç: 4ab(2a - 3b).

15. Verilen bir A pozitif tam sayısı A = 2ˣ . 3ʸ . 5^z ... biçiminde küçükten büyüğe doğru asal çarpanlarına ayrılıyor. Üsleri sırasıyla yazılarak 'izi' oluşturuluyor. Örneğin 50 = 2¹.3⁰.5² → izi 102. Buna göre izi 3021 olan sayı kaçtır?

• A) 2800
• B) 2100
• C) 1700
• D) 1400 ✓

İzi 3021 ise üsler sırasıyla 3, 0, 2, 1'dir. • Asal çarpanlar: 2, 3, 5, 7 • Sayı = 2³ . 3⁰ . 5² . 7¹ • 8 . 1 . 25 . 7 = 200 . 7 = 1400. Sonuç: 1400.

16. (a - 6) ve (2b + 3) aralarında asal sayılardır. (a-6)/(2b+3) = 32/72 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

• A) 10
• B) 11
• C) 12
• D) 13 ✓

32/72 kesrini sadeleştirelim. • 32/72 = 16/36 = 8/18 = 4/9 • Aralarında asal oldukları için: • a - 6 = 4 → a = 10 • 2b + 3 = 9 → 2b = 6 → b = 3 • a + b = 10 + 3 = 13. Sonuç: 13.

17. 480 tane bilyenin tamamı n tane çocuğa eşit olarak dağıtılacaktır. Her bir çocuk en az 8, en fazla 80 bilye alacaktır. Buna göre n'nin alabileceği kaç farklı değer vardır?

• A) 12
• B) 13 ✓
• C) 14
• D) 15

Kişi başı bilye k = 480/n. 8 ≤ k ≤ 80. • 480 = 48.10 = 2⁵.3.5. PBS = 6.2.2 = 24. • Aralığa uymayan bölenler: • k < 8: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (6 tane) • k > 80: 96, 120, 160, 240, 480 (5 tane) • Toplam atılacak: 11 tane. • Kalan: 24 - 11 = 13. Sonuç: 13.

18. x³ - 8 ifadesinin çarpanları nedir?

• A) (x - 2)(x² + 2x + 4) ✓
• B) (x - 2)³
• C) (x + 2)(x² - 2x + 4)
• D) (x - 2)(x² - 2x + 4)

İki küp farkı özdeşliği kullanılır. • İfade: x³ - 2³ • Formül: (a - b)(a² + ab + b²) • Açılım: (x - 2)(x² + 2x + 4) Sonuç: (x - 2)(x² + 2x + 4)

19. n bir tam sayı olmak üzere ve 12! / 6ⁿ = A eşitliğinde A en küçük tam sayı değerini aldığında A'nın asal çarpanları toplamı kaç olur?

• A) 25 ✓
• B) 24
• C) 23
• D) 22

12! içindeki maksimum 6 (yani 2 ve 3) çarpanlarını bulup atacağız. • 12! içindeki 3 sayısı: 12/3=4, 4/3=1 → Toplam 5 tane. • 12! içindeki 2 sayısı: 12/2=6, 6/2=3, 3/2=1 → Toplam 10 tane. • 6ⁿ = 2ⁿ . 3ⁿ için max n = 5 olur (3'ler belirler). • A = 12! / (2⁵ . 3⁵⁾ • 12! = 2¹⁰ . 3⁵ . 5² . 7 . 11 • Sadetleşince: A = 2⁵ . 5² . 7 . 11 • Asal çarpanlar: 2, 5, 7, 11 • Toplam: 2 + 5 + 7 + 11 = 25. Sonuç: 25.

20. x² + 4y² - 6x + 4y + 13 ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

• A) 3 ✓
• B) 0
• C) 13
• D) -3

Tam kare ifadelere tamamlayalım. • x² - 6x + 9 + 4y² + 4y + 1 + 3 • (x - 3)² + (2y + 1)² + 3 • Kareli ifadeler en az 0 olur. Minimum değer 3'tür. Sonuç: 3.

21. 140 sayısının sağında kaç sıfır daha olsaydı, asal olmayan pozitif tam sayı bölenleri sayısı 141 olurdu?

• A) 5
• B) 6 ✓
• C) 7
• D) 8

Sayı A = 14 . 10ⁿ olsun (n tane sıfır aslında n-1 eklenmiş gibi, toplam 10ⁿ çarpanı). • A = 14 . 10ⁿ = 2.7 . 2ⁿ . 5ⁿ = 2⁽ⁿ⁺¹⁾ . 5ⁿ . 7¹ • Biz n tane 'eklenen' sıfırdan ziyade toplam sıfır sayısına x diyelim. Soru 140...0 şeklindeki sayı için. • Sayı 140 . 10^k olsun. 140.10^k = 14.10⁽k+1). Formülümüz: 2⁽k+2).5⁽k+1).7¹ • PBS = (k+3)(k+2)(2). • Asal bölenler: 2, 5, 7 (3 tane). • Asal olmayan PBS = Toplam PBS - 3 = 141 → Toplam PBS = 144. • 2(k+3)(k+2) = 144 → (k+3)(k+2) = 72. • 9 . 8 = 72 → k+2 = 8 → k = 6. Sonuç: 6.

22. 4x² - 12x + 9 ifadesinin eşiti nedir?

• A) (2x - 3)² ✓
• B) (2x + 3)²
• C) (4x - 3)(x + 3)
• D) (2x - 9)(2x - 1)

Tam kare özdeşliği kullanılır. • İfade: (2x)² - 2(2x)(3) + 3² • (2x - 3)(2x - 3) Sonuç: (2x - 3)²

23. 2200...0 sayısının pozitif bölenleri sayısı 112 olduğuna göre, bu sayı kaç basamaklıdır?

• A) 6
• B) 8 ✓
• C) 10
• D) 12

Sayı = 22.10ⁿ = 2.11.2ⁿ.5ⁿ = 2⁽ⁿ⁺¹⁾.5ⁿ.11¹ • PBS = (n+2)(n+1)(2) = 112 • (n+2)(n+1) = 56 • 8 . 7 = 56 → n = 6 • Sayı = 22 . 10⁶ (2 basamak + 6 sıfır) = 8 basamaklı. Sonuç: 8.

24. a - b = 5 ve a.b = 5 olduğuna göre, a³ - b³ kaçtır?

• A) 200 ✓
• B) 125
• C) 150
• D) 225

Özdeşlik: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) • a² + b² = (a - b)² + 2ab = 25 + 10 = 35 • a³ - b³ = 5 . (35 + 5) = 5 . 40 = 200. Sonuç: 200.

25. 720 sayısının pozitif tek tam sayı bölenlerinin sayısı kaç tanedir?

• A) 6 ✓
• B) 7
• C) 8
• D) 9

720 = 72.10 = 2³.3².2.5 = 2⁴.3².5¹ • Tek bölenler için çift çarpan (2) atılır. • Kalan: 3².5¹ • PBS = (2+1)(1+1) = 3.2 = 6. Sonuç: 6.