MATEMATIK - kumeler (Bölüm 1)

1. A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {3, 4, 5, 6, 7} kümeleri verildiğine göre, A ∩ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

• A) {1, 2}
• B) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
• C) {3, 4, 5} ✓
• D) {6, 7}
• E) {1, 2, 6, 7}

A ∩ B (A kesişim B), her iki kümede de ortak olan elemanlardan oluşur. A = {1,2,3,4,5} ve B = {3,4,5,6,7} kümelerinde ortak elemanlar 3, 4 ve 5'tir. Bu nedenle A ∩ B = {3, 4, 5}.

2. A = {a, b, c, d} kümesinin eleman sayısı kaçtır?

• A) 3
• B) 6
• C) 5
• D) 2
• E) 4 ✓

Bir kümenin eleman sayısı o kümedeki farklı elemanların toplamıdır. A = {a, b, c, d} kümesinde a, b, c ve d olmak üzere 4 farklı eleman vardır. Bu nedenle n(A) = 4'tür.

3. A = {1, 2, 3} ve B = {2, 3, 4, 5} kümeleri verildiğine göre, A ∪ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

• A) 6
• B) 7
• C) 8
• D) 4
• E) 5 ✓

A ∪ B (A birleşim B), her iki kümede yer alan tüm elemanlardan oluşur, ortak elemanlar bir kez yazılır. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} olur. Bu kümenin eleman sayısı 5'tir. Ayrıca n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 3 + 4 − 2 = 5 formülüyle de bulunabilir.

4. Evrensel küme E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ve A = {2, 4, 6, 8} olduğuna göre, A' (A'nın tümleyeni) aşağıdakilerden hangisidir?

• A) {1, 2, 3, 4}
• B) {5, 6, 7, 8}
• C) {1, 3, 5, 7} ✓
• D) {2, 4, 6, 8}
• E) {}

Bir kümenin tümleyeni (A'), evrensel kümede olup o kümede olmayan elemanlardan oluşur. E = {1,2,3,4,5,6,7,8} kümesinde A = {2,4,6,8} elemanları çıkarıldığında geriye {1, 3, 5, 7} kalır. Bu nedenle A' = {1, 3, 5, 7}.

5. {∅} kümesinin eleman sayısı kaçtır?

• A) Tanımsız
• B) 3
• C) 2
• D) 0
• E) 1 ✓

{∅} kümesi, elemanı boş küme (∅) olan bir kümedir. Bu kümenin tek bir elemanı vardır ve bu eleman boş kümedir. ∅ ile {∅} farklı kavramlardır: ∅ hiç eleman içermezken {∅} bir eleman (boş küme) içerir. Dolayısıyla n({∅}) = 1.

6. A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) A ∩ B = ∅
• B) B ⊂ A
• C) A ⊂ B ✓
• D) A = B
• E) A ⊃ B

A'nın her elemanının (1, 2, 3, 4, 5) aynı zamanda B'nin de elemanı olduğu görülür. Ayrıca B'nin A'da bulunmayan elemanları (6 ve 7) vardır. Bu durumda A, B'nin alt kümesidir ve A ⊂ B yazılır. A ⊃ B veya B ⊂ A yanlıştır çünkü B, A'dan büyüktür.

7. A = {x | x, 10'dan küçük pozitif tek sayı} kümesinin eleman sayısı kaçtır?

• A) 7
• B) 3
• C) 4
• D) 6
• E) 5 ✓

10'dan küçük pozitif tek sayılar: 1, 3, 5, 7 ve 9'dur. Yani A = {1, 3, 5, 7, 9} kümesi oluşur. Bu kümenin eleman sayısı n(A) = 5'tir.

8. n(A) = 8, n(B) = 6 ve n(A ∩ B) = 3 olduğuna göre, n(A ∪ B) kaçtır?

• A) 9
• B) 14
• C) 10
• D) 11 ✓
• E) 12

Birleşim formülü: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). Değerleri yerine koyarsak: n(A ∪ B) = 8 + 6 − 3 = 11. Bu formül, ortak elemanların iki kez sayılmasını önlemek için kesişim eleman sayısını çıkarır.

9. A = {1, 2, 3} kümesinin tüm alt kümelerinin sayısı kaçtır?

• A) 3
• B) 7
• C) 9
• D) 6
• E) 8 ✓

n elemanlı bir kümenin toplam alt küme sayısı 2ⁿ formülüyle bulunur. A = {1, 2, 3} kümesi için n = 3 olduğundan alt küme sayısı 2³ = 8'dir. Bu alt kümeler: ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} şeklinde sıralanabilir.

10. A = {2, 4, 6, 8, 10} ve B = {1, 3, 5, 7, 9} kümeleri için A ∩ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

• A) {1, 3, 5}
• B) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
• C) ∅ ✓
• D) {5, 6, 7}
• E) {2, 4, 6}

A = {2,4,6,8,10} çift sayıları, B = {1,3,5,7,9} tek sayıları içermektedir. İki küme arasında ortak hiçbir eleman yoktur; yani kesişimleri boş kümedir: A ∩ B = ∅. Ortak elemanı bulunmayan bu tür kümelere ayrık (ayrışık) kümeler denir.

11. A − B (A fark B) işlemi neyi ifade eder?

• A) Ne A'da ne de B'de olan elemanlar
• B) A veya B'de olan tüm elemanlar
• C) A ve B'de ortak olan elemanlar
• D) A'da olup B'de olmayan elemanlar ✓
• E) B'de olup A'da olmayan elemanlar

A − B fark kümesi; A kümesinin elemanlarından B kümesinde olanların çıkarılmasıyla elde edilir. Yani A'da bulunan fakat B'de bulunmayan elemanlardır. Örneğin A = {1,2,3,4} ve B = {3,4,5} ise A − B = {1,2} olur.

12. A = {1, 3, 5, 7} ve B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} olduğuna göre, B − A kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

• A) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
• B) {3, 5}
• C) {2, 4, 6, 8} ✓
• D) ∅
• E) {1, 3, 5, 7}

B − A kümesi; B'de olup A'da olmayan elemanları içerir. B = {1,2,3,4,5,6,7,8} kümesinden A = {1,3,5,7} elemanları çıkarıldığında geriye {2, 4, 6, 8} kalır. Dolayısıyla B − A = {2, 4, 6, 8}.

13. Boş küme (∅) ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

• A) {∅} ile ∅ aynı kümelerdir. ✓
• B) Boş küme bir kümedir.
• C) Boş kümenin eleman sayısı 0'dır.
• D) Boş küme kendisinin de alt kümesidir.
• E) Boş küme her kümenin alt kümesidir.

∅ (boş küme) hiç eleman içermezken {∅} bir eleman içeren kümedir; bu eleman boş kümedir. Dolayısıyla ∅ ≠ {∅}'dir ve 'C' seçeneği yanlıştır. Diğer seçenekler doğrudur: boş küme her kümenin (kendisi dahil) alt kümesidir ve eleman sayısı 0'dır.

14. Bir sınıftaki 30 öğrencinin 18'i matematik, 14'ü fen dersini seviyor. Her iki dersi de seven 6 öğrenci varsa, hiçbir dersi sevmeyen öğrenci sayısı kaçtır?

• A) 2
• B) 10
• C) 6
• D) 4 ✓
• E) 8

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) formülü uygulanır. Matematik veya fen seven öğrenci sayısı: 18 + 14 − 6 = 26. Hiçbirini sevmeyen öğrenci sayısı: 30 − 26 = 4.

15. A = {x | 1 ≤ x ≤ 5, x ∈ Z} kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

• A) {1, 2, 3, 4}
• B) {2, 3, 4, 5}
• C) {1, 3, 5}
• D) {0, 1, 2, 3, 4, 5}
• E) {1, 2, 3, 4, 5} ✓

1 ≤ x ≤ 5 koşulu, x'in 1 ile 5 arasında (1 ve 5 dahil) olmasını gerektirir. x ∈ Z olduğundan x tam sayıdır. Bu koşulu sağlayan tam sayılar: 1, 2, 3, 4 ve 5'tir. Bu nedenle A = {1, 2, 3, 4, 5}.

16. A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {3, 4, 5, 6, 7} kümeleri verildiğinde A ∩ B kaç elemanlıdır?

• A) 2
• B) 4
• C) 3 ✓
• D) 7
• E) 5

A ∩ B, her iki kümede de ortak olan elemanlardan oluşur. A ∩ B = {3, 4, 5} olduğundan bu küme 3 elemanlıdır.

17. A = {a, b, c, d} kümesinin kaç tane alt kümesi vardır?

• A) 8
• B) 32
• C) 12
• D) 16 ✓
• E) 24

n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿ formülüyle bulunur. A kümesi 4 elemanlı olduğundan alt küme sayısı 2⁴ = 16'dır.

18. Evrensel küme E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ve A = {2, 4, 6, 8} olduğuna göre Aᶜ (A'nın tümleyeni) hangi kümedir?

• A) {1, 3, 5, 7, 9}
• B) {1, 3, 5, 7} ✓
• C) {1, 2, 3, 4}
• D) {2, 4, 6, 8}
• E) {5, 6, 7, 8}

Tümleme, evrensel kümeden A kümesinin çıkarılmasıyla elde edilir. E - A = {1, 3, 5, 7} olduğundan Aᶜ = {1, 3, 5, 7}'dir.

19. A = {1, 2, 3} ve B = {3, 4, 5} kümeleri için A ∪ B kaç elemanlıdır?

• A) 6
• B) 3
• C) 5 ✓
• D) 7
• E) 4

A ∪ B, her iki kümenin tüm elemanlarını (tekrar etmeksizin) içerir. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} olduğundan bu küme 5 elemanlıdır.

20. Boş küme için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

• A) Boş küme her kümenin alt kümesidir.
• B) Boş küme {0} ile gösterilir. ✓
• C) Boş küme hiçbir elemanı olmayan kümedir.
• D) Boş kümenin alt küme sayısı 1'dir.
• E) Boş küme ∅ sembolü ile gösterilir.

Boş küme {0} ile değil, ∅ veya {} şeklinde gösterilir. {0}, içinde 0 elemanı bulunan bir kümedir ve boş küme değildir.

21. A = {x | x, 10'dan küçük pozitif çift tam sayı} kümesi hangi seçenekte doğru verilmiştir?

• A) {2, 4, 6, 8, 10}
• B) {2, 4, 6, 8} ✓
• C) {0, 2, 4, 6, 8}
• D) {2, 4, 6, 8, 10, 12}
• E) {1, 3, 5, 7, 9}

10'dan küçük pozitif çift tam sayılar: 2, 4, 6, 8'dir. 10 dahil değildir (küçük koşulu), 0 ise pozitif sayı sayılmaz.

22. n(A) = 8, n(B) = 6 ve n(A ∩ B) = 3 olduğuna göre n(A ∪ B) kaçtır?

• A) 11 ✓
• B) 14
• C) 9
• D) 12
• E) 10

Birleşim formülü: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) = 8 + 6 - 3 = 11'dir.

23. A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {4, 5, 6, 7} olduğuna göre A - B (A fark B) kümesi hangisidir?

• A) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
• B) {1, 2, 3} ✓
• C) {6, 7}
• D) {1, 2, 3, 6, 7}
• E) {4, 5}

A - B, A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların kümesidir. A'da olup B'de olmayan elemanlar 1, 2, 3 olduğundan A - B = {1, 2, 3}'tür.

24. Aşağıdakilerden hangisi {2, 4, 6, 8} kümesinin bir alt kümesi değildir?

• A) {4, 6}
• B) {2, 4, 6, 8}
• C) {2, 5} ✓
• D) {2}
• E) ∅

Alt kümedeki her eleman asıl kümede bulunmalıdır. {2, 5} kümesindeki 5 elemanı {2, 4, 6, 8} kümesinde yer almadığından {2, 5} bu kümenin alt kümesi olamaz.

25. A ⊂ B olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

• A) A ∩ B = ∅
• B) A - B = A
• C) A ∩ B = A ✓
• D) A ∪ B = A
• E) B ⊂ A

A ⊂ B ise A'nın tüm elemanları B'de de vardır. Bu durumda A ∩ B = A olur. A ∪ B = B, A - B = ∅ ve B ⊂ A ise ancak A = B ise doğrudur.