MATEMATIK - kumeler (Bölüm 7)

1. A = {2, 4, 6, 8} ve B = {4, 8, 12} kümeleri verildiğinde, A ∩ B (A kesişim B) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

• A) {12}
• B) {2, 4, 6, 8, 12}
• C) {}
• D) {2, 6}
• E) {4, 8} ✓

Kesişim kümesi, her iki kümede de ortak olan elemanlardan oluşur. A ve B'nin ortak elemanları 4 ve 8'dir. Bu nedenle A ∩ B = {4, 8}'dir.

2. A = {1, 3, 5} ve B = {2, 3, 4, 5} kümeleri verildiğinde, A ∪ B (A birleşim B) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

• A) 5 ✓
• B) 7
• C) 8
• D) 4
• E) 6

Birleşim kümesi her iki kümenin tüm elemanlarını kapsar (ortak elemanlar bir kez yazılır): A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} → 5 eleman. Doğru cevap B) 5'tir.

3. Evrensel küme U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ve A = {2, 4, 6, 8} ise A'nın tümleyeni A' kaçtır?

• A) {1, 2, 3, 4}
• B) {}
• C) {5, 6, 7, 8}
• D) {1, 3, 5, 7} ✓
• E) {2, 4, 6, 8}

Tümleyen kümesi, evrensel kümedeki elemanlardan A'daki elemanlar çıkarılarak bulunur: U − A = {1, 3, 5, 7}. Doğru cevap A) {1, 3, 5, 7}'dir.

4. A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {3, 4, 5, 6, 7} kümeleri için A − B (A fark B) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

• A) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
• B) {6, 7}
• C) {1, 2, 6, 7}
• D) {1, 2} ✓
• E) {3, 4, 5}

A − B kümesi; A'da olup B'de olmayan elemanlardan oluşur. A'dan 3, 4, 5 çıkarılınca geriye {1, 2} kalır. Doğru cevap C) {1, 2}'dir.

5. Aşağıdakilerden hangisi boş kümenin (∅) doğru gösterimi değildir?

• A) {∅} ✓
• B) Hiçbir elemana sahip olmayan küme
• C) Elemanı olmayan küme
• D) { }
• E) ∅

{∅} boş küme değil, elemanı boş küme olan bir kümedir yani eleman sayısı 1'dir. Boş küme ∅ veya { } ile gösterilir. Doğru cevap C) {∅}'dir (yanlış gösterim olduğu için).

6. A = {1, 2, 3} kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) 4 ⊂ A
• B) ∅ ⊂ A ✓
• C) {3} ∈ A
• D) {1, 2, 3} ∉ A
• E) {1, 2} ∈ A

Boş küme her kümenin alt kümesidir; dolayısıyla ∅ ⊂ A her zaman doğrudur. A) yanlış çünkü {1,2} eleman değil alt kümedir. Doğru cevap C) ∅ ⊂ A'dır.

7. Bir sınıftaki 30 öğrencinin 18'i matematik, 14'ü fen dersini sevmektedir. Her iki dersi de seven öğrenci sayısı 7 ise hiçbirini sevmeyen öğrenci sayısı kaçtır?

• A) 6
• B) 5 ✓
• C) 3
• D) 7
• E) 4

En az birini seven: n(M ∪ F) = 18 + 14 − 7 = 25. Hiçbirini sevmeyen: 30 − 25 = 5. Doğru cevap C) 5'tir.

8. A ⊆ B olması için aşağıdaki koşullardan hangisi yeterlidir?

• A) A ∪ B = A
• B) n(A) > n(B)
• C) A − B = ∅ ✓
• D) B − A = ∅
• E) A ∩ B = ∅

A − B = ∅ olması, A'nın tüm elemanlarının B'de de bulunduğu anlamına gelir; bu da A ⊆ B demektir. Doğru cevap C) A − B = ∅'dır.

9. A = {2, 3, 5, 7, 11} kümesi için bu kümenin kaç tane tek elemanlı alt kümesi vardır?

• A) 5 ✓
• B) 10
• C) 3
• D) 32
• E) 1

Tek elemanlı alt kümeler: {2}, {3}, {5}, {7}, {11} → her eleman için bir tane olmak üzere toplam 5 adet. Doğru cevap C) 5'tir.

10. A = {1, 2, 3, 4} ve B = {3, 4, 5, 6} kümeleri için (A ∪ B) − (A ∩ B) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

• A) {1, 2, 3, 4}
• B) {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• C) {}
• D) {1, 2, 5, 6} ✓
• E) {3, 4}

A ∪ B = {1,2,3,4,5,6}, A ∩ B = {3,4}. (A ∪ B) − (A ∩ B) = {1,2,3,4,5,6} − {3,4} = {1,2,5,6}. Bu işlem simetrik farka eşittir. Doğru cevap B)'dir.

11. Evrensel küme U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {4, 5, 6, 7} olduğuna göre (A ∪ B)' kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

• A) {8, 9, 10} ✓
• B) {4, 5}
• C) {1, 2, 3, 6, 7}
• D) {1, 2, 3}
• E) {6, 7, 8, 9, 10}

Önce A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7} bulunur. Sonra tümleyeni: U − (A ∪ B) = {8,9,10}. Doğru cevap C) {8, 9, 10}'dur.

12. A = {1, 2, 3} ve B = {3, 4, 5} kümeleri verildiğinde, A ∪ B kümesi hangisidir?

• A) {2, 3, 4}
• B) {1, 2, 3, 4}
• C) {1, 2, 3, 4, 5} ✓
• D) {1, 2, 4, 5}
• E) {3}

Birleşim kümesi her iki kümenin tüm elemanlarını kapsar, ortak elemanlar tek yazılır. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

13. A = {1, 2, 3, 4} ve B = {2, 4, 6} kümeleri verildiğinde, A ∩ B kümesi hangisidir?

• A) {2, 4} ✓
• B) {6}
• C) {1, 2, 3, 4, 6}
• D) {1, 3, 6}
• E) {1, 3}

Kesişim kümesi yalnızca her iki kümede de ortak olan elemanları içerir. A ∩ B = {2, 4}

14. Boş kümenin eleman sayısı kaçtır?

• A) Tanımsız
• B) 1
• C) 2
• D) 0 ✓
• E) Sonsuz

Boş küme (∅), hiçbir eleman içermeyen kümedir. Eleman sayısı sıfırdır: n(∅) = 0

15. A = {a, b, c} kümesinin kaç tane alt kümesi vardır?

• A) 8 ✓
• B) 4
• C) 3
• D) 6
• E) 9

n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿ formülüyle bulunur. n(A) = 3 olduğundan alt küme sayısı = 2³ = 8

16. A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {1, 2, 3} ise A \ B (A fark B) kümesi hangisidir?

• A) {2, 3, 4}
• B) {1, 2, 3}
• C) {4, 5} ✓
• D) {3, 4, 5}
• E) {1, 4, 5}

A \ B kümesi; A'da olup B'de olmayan elemanlardan oluşur. 4 ve 5, B'de bulunmadığından A \ B = {4, 5}

17. Evrensel küme U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ve A = {2, 4, 6} ise A'nın tümleyeni (Aᶜ) hangisidir?

• A) {1, 2, 3}
• B) {2, 4, 6}
• C) {4, 5, 6}
• D) {1, 3, 4}
• E) {1, 3, 5} ✓

Tümleme kümesi; evrensel kümenin A kümesindeki elemanlar çıkarıldıktan sonra kalan elemanlardır. Aᶜ = U \ A = {1, 3, 5}

18. Aşağıdakilerden hangisi bir küme değildir?

• A) Tek basamaklı rakamlar
• B) Türkiye'nin illeri
• C) Asal sayılar
• D) 10'dan küçük doğal sayılar
• E) Güzel insanlar ✓

Bir kümenin elemanları kesin ve net olarak belirlenebilmelidir. 'Güzel insanlar' ifadesi kişiden kişiye değiştiği için bu, iyi tanımlı bir küme oluşturmaz.

19. A = {1, 2, 3} ve B = {4, 5, 6} kümeleri için A ∩ B kümesi hangisidir?

• A) {1, 6}
• B) ∅ ✓
• C) {3, 4}
• D) {2, 5}
• E) {1, 2, 3, 4, 5, 6}

İki küme arasında ortak hiçbir eleman bulunmamaktadır. Bu nedenle A ∩ B = ∅ (boş küme). Bu tür kümelere ayrık (ayrışık) kümeler denir.

20. Bir kümede 4 eleman varsa, bu kümenin kaç tane boş olmayan alt kümesi vardır?

• A) 15 ✓
• B) 16
• C) 14
• D) 12
• E) 8

4 elemanlı bir kümenin toplam alt küme sayısı 2⁴ = 16'dır. Boş küme de bir alt küme olduğundan, boş olmayan alt küme sayısı 16 − 1 = 15'tir.

21. A ⊂ B ifadesi ne anlama gelir?

• A) B, A'nın alt kümesidir
• B) A ve B eşit kümelerdir
• C) A, B'nin tümleyenidir
• D) A'nın her elemanı aynı zamanda B'nin de elemanıdır ✓
• E) A ve B ayrık kümelerdir

A ⊂ B (A, B'nin alt kümesidir) ifadesi; A kümesindeki her elemanın B kümesinde de bulunduğu anlamına gelir. Yani A'nın tüm elemanları B içinde yer alır.

22. Herhangi bir A kümesi için A ∪ ∅ işleminin sonucu nedir?

• A) A ✓
• B) {0}
• C) ∅
• D) Evrensel küme
• E) A'nın tümleyeni

Boş küme, birleşim işleminde etkisiz elemandır. Herhangi bir kümeyle boş kümenin birleşimi o kümenin kendisini verir: A ∪ ∅ = A

23. n(A) = 12, n(B) = 9, n(A ∪ B) = 17 ise n(A ∩ B) kaçtır?

• A) 3
• B) 4 ✓
• C) 6
• D) 5
• E) 2

Birleşim formülünden: n(A ∩ B) = n(A) + n(B) − n(A ∪ B) = 12 + 9 − 17 = 4

24. A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {3, 4, 5, 6, 7} kümeleri veriliyor. A ∩ B kümesi kaç elemanlıdır?

• A) 2
• B) 3 ✓
• C) 1
• D) 4
• E) 5

A ∩ B (A kesişim B), her iki kümede de ortak olan elemanları içerir. A ve B'nin ortak elemanları 3, 4 ve 5'tir. Dolayısıyla A ∩ B = {3, 4, 5} olup bu küme 3 elemanlıdır.

25. A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {3, 4, 5, 6, 7} kümeleri veriliyor. A ∪ B kümesi kaç elemanlıdır?

• A) 5
• B) 7 ✓
• C) 10
• D) 8
• E) 6

A ∪ B (A birleşim B), her iki kümeden en az birinde bulunan tüm elemanları kapsar. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} olup 7 elemanlıdır. Formülle de doğrulanabilir: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 5 + 5 − 3 = 7.